二、 不定积分 第三章一元函数积分学及其应用 例4「adx(a≠l,a>0) 解 因ay=aha.(ae小=a,改ar是a的个原函数从而
11 第三章 一元函数积分学及其应用 解 因( ) ln x x a a a = , 1 ' ln x x a a a = , 二、不定积分 例4 d ( 1, 0) x a x a a 1 d ln x x a x a C a = + . 故 1 ln x a a 是 x a 的一个原函数, 从而
不定积分 第三章一元函数积分学及其应用 例5 设曲线通过点(1，)，且其上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的 平方，求此曲线的方程 解设所求的曲线方程为y=f(x). 根据题意知曲线上任意一点(x,y)处的 切线斜宰为出-x由∫x如+C得曲线方程)兮+C dx 又小=l,故C-号 因此所求的曲线方程为 2
12 第三章 一元函数积分学及其应用 例5 设曲线通过点(1,1) , 且其上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的 平方, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为 y = f (x). 又 1 1 x y = = , 故 2 3 C = , 因此所求的曲线方程为 1 2 2 3 3 y x = + . 二、不定积分 根据题意知曲线上任意一点 (x, y)处 的 切线斜率为 d 2 d y x x = . 由 2 3 1 d 3 x x x C = + 得曲线方程 1 3 3 y x C = +
不定积分 第三章一元函数积分学及其应用 以丁xdx二+C为例，我们来看关于不定积 分的几何意义 y-号+C的图形为) 的图形沿y轴方向 3 移动一段距离C得到的.C>0时向上移，C<0时 向下移（见图3-1）.通常称f(x)的一个原函数F(x) 的图形为函数f(x)的积分曲线，不定积分 图3-1 ∫∫(xx在几何上表示积分曲线族.在积分曲线族 上，横坐标相同的点处的切线是相互平行的 13
13 第三章 一元函数积分学及其应用 以 3 2 d 3 x x x C = + 为 例, 我们来看关于不定积 分的几何意义. 3 3 x y C = + 的图形为 3 3 x y = 的图形沿 y 轴方向 移动一段距离 C 得到的. C 0时向上移, C 0时 向下移(见图3-1). 二、不定积分 y 1 O x y= x 3 3 +C 3 y= x 3 图3-1 通常称 f x( ) 的一个原函数 F x( ) 的 图 形 为 函 数 f x( ) 的 积 分 曲 线 , 不定积分 f x x ( )d 在几何上表示积分曲线族. 在积分曲线族 上, 横坐标相同的点处的切线是相互平行的
基本积分公式 第三章一元函数积分学及其应用 由于积分运算是微分运算的逆运算，所以由基本求导公式可以直接得到基 本积分公式. (1)]Odx=C; (2)kdx=kx+C; 8jrar=+cu*-)店 4+1 ④=hl+C dx arctanx+C=-arccotx+C; dx (6) arcsinx+C=-arccosx+C; √-x2
14 第三章 一元函数积分学及其应用 由于积分运算是微分运算的逆运算, 所以由基本求导公式可以直接得到基 本积分公式. (1) 0dx C= ; (2) k x kx C d = + ; (3) ( ) 1 d 1 1 x x x C + = + − + ; (4) x C x x = + ln d ; (5) 2 d arctan cot 1 x x C arc x C x = + = − + + ; 三、基本积分公式 (6) 2 d arcsin arccos 1 x x C x C x = + = − + − ;
三、 基本积分公式 第三章一元函数积分学及其应用 由于积分运算是微分运算的逆运算，所以由基本求导公式可以直接得到基 本积分公式 cos xdx sin x+C; (8)|sin xdx=-cosx+C; (9)sec2 xdx=tanx+C; (10)[csc2xdx=-cotx+C: (11)|secxtan xdx=secx+C; (12)cscxcotxdx=-cscx+C; (13)e*dx =e*+C (4)∫a'dr= Ina 15
15 第三章 一元函数积分学及其应用 由于积分运算是微分运算的逆运算, 所以由基本求导公式可以直接得到基 本积分公式. (7) cos xdx = sin x + C ; (8) sin xdx = −cos x + C ; (9) sec xdx = tan x + C 2 ; (10) x x = − x + C csc d cot 2 ; (11) sec tan d sec x x x x C = + ; (12) csc x cot xdx = −csc x + C ; (13) x C x x = + e d e ; (14) C a a a x x x = + ln d . 三、基本积分公式