函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点极值是函数的局部性概念：极大值可能小于极小值，极小值可能大于极大值定理（必要条件）设f(x)在点x.处具有导数,且在x处取得极值,那末必定f（x）=0.定义使导数为零的点即方程f(x)=0的实根)叫做函数f(x)的驻点驻点和不可导点统称为临界点经济数学微积分
设 f (x)在 点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点即方程 的实根 叫 f x f x = 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数 取得极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点
定理（第一充分条件）(1)如果x E(x -S,x),有f'(x) >0;而x E(xo,X +8),有f(x)<0，则f(x)在x.处取得极大值(2)如果x E(x -S,x),有f(x)< 0;而x E(xo,x +8)有f(x)>0，则f(x)在x处取得极小值(3)如果当xE(x-S,x)及xE(xo,x+)时,f(x)符号相同,则f(x)在x.处无极值定理(第二充分条件)设f(x)在x.处具有二阶导数且f(x)=0,f"(x)±0,那末(1)当f"(x)<0时，函数f(x)在x处取得极大值;(2)当f(x)>0时，函数f(x)在x处取得极小值经济数学微积分
(1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在 0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符 号相同,则 f ( x)在x0处无极值. 定理(第一充分条件) 设 f (x)在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( 0 ) 0 ' f x = , ( 0 ) 0 '' f x , 那末 (1)当 ( ) 0 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( ) 0 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极小值. 定理(第二充分条件)
求极值的步骤：1)求导数f(x);2)求驻点，即方程f(x)=0的根3)检查f'(x)在驻点左右的正负号或f"(x)在该点的符号判断极值点4)求极值经济数学微积分
求极值的步骤: 1)求导数 f (x); 2)求驻点，即方程f (x) = 0的根; , ; 3) ( ) ( ) 在该点的符号判断极值点 检 查 f x 在驻点左右的正负号或f x 4)求极值
(3)最大值、最小值问题步骤：1)求驻点和不可导点：2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小，哪个大哪个就是最大值，哪个小哪个就是最小值；注意：如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.（最大值或最小值）经济数学微积分
步骤: 1) 求驻点和不可导点; 2) 求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值) (3) 最大值、最小值问题
实际问题求最值应注意：1)建立目标函数：2)求最值;若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值。(4)曲线的凹凸与拐点定义设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意f(x)+ f(x)Xi+x2两点x，X2,恒有22那末称f(x)在I上的图形是（向上）凹的;经济数学微积分
实际问题求最值应注意: 1)建立目标函数; 2)求最值; 函数值即为所求的最大（或最小）值． 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 (4) 曲线的凹凸与拐点 定义 ( ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 上的图形是（向上）凹的 两 点 恒 有 设 在区间 上连续 如果对 上任意 f x I x x f x f x x x f f x I I + +