4.洛必达法则0X(1)型及=型未定式08定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则(2) 0 .80,80-0,0°,1°,80°型未定式关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型(g)(%) .注意：洛必达法则的使用条件经济数学微积分
4. 洛必达法则 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. ⑴ 型及 型未定式 0 0 ⑵ 0, − ,0 0 ,1 , 0型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 注意：洛必达法则的使用条件
5.泰勒中值定理泰勒（Taylor）中值定理如果函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数则当x在(a,b)内时，f(x)可以表示为(x一x)的一个n次多项式与一个余项R,(x)之和：f"(xo)f(x) = f(xo)+ f'(x)(x-x,)+2!X- x)" + R,(x)n!r(n+1) (3)其中R,(x)(x-x)n+1 (在x,与x之间)(n + 1)!经济数学微积分
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有x0 的某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1) 阶的导数, 则 当 x在(a,b)内 时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的 一个n次多项式与一个余项R ( x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 5. 泰勒中值定理 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) 其中 x x 在 x 与 x 之间 n f R x n n n + + − + =
常用函数的麦克劳林公式t3tt2n+12n+2(-1)sinx =3!5!(2n-1!2t!tot2ncosx=2!4!6!(2n)!ox?t+1In(1 + x)（-1）++0023n+111+x+x+...+x" +o(x")1-xm(m-1)(1+x)" =1+mx+X-2!m(m -1)...(m - n +1)r"n!馆经济数学微积分
常用函数的麦克劳林公式 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 6! cos 1 2 2 4 6 2 n n n o x n x x x x x = − + − ++ − + ( ) 1 ( 1) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 1 + + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x 1 ( ) 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n m x o x n m m m n x m m x m x + − − + + + − + = + +
6.导数的应用(1)函数单调性的判定法定理设函数y= f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导1°如果在(a,b)内f'(x)>0,那末函数y= f(x)在[a,bl上单调增加;2°如果在(a,b)内 f'(x)<0,那末函数y= f(x)在[a,bl上单调减少经济数学微积分
6. 导数的应用 定理 [ , ] . 2 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 0 0 在 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； 如果在 内 ，那末函数 内可导 设函数 在 上连续，在 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = (1) 函数单调性的判定法
(2)函数的极值及其求法定义 设函数,f(x)在区间(a,b)内有定义，x是(a,b)内的一个点如果存在着点x。的一个邻域,对于这邻域内的任何点x，除了点x外，f(x)<f(x)均成立,就称f(x)是函数f(x)的一个极大值；如果存在着点x。的一个邻域,对于这邻域内的任何点x，除了点x外，f(x)>f(x)均成立,就称f(x)是函数f(x)的一个极小值经济数学微积分
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 就 称 是函数 的一个极小值 的任何点 除了点 外 均成立 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内 就 称 是函数 的一个极大值 的任何点 除了点 外 均成立 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 定义 (2) 函数的极值及其求法