如果对区间I上任意两点xx恒有f(x)+ f(x2)+222那末称f(x)在I上的图形是（向上）的;如果f(x)在[a,b]内连续,且在(a,b)内的图形是凹(或凸)的,那末称f(x)在[a,b内的图形是凹(或凸)的;经济数学微积分
( ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 上的图形是（向上）凸的 如果对区间 上任意两点 恒 有 f x I x x f x f x f I x x + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或凸 的 那末称 在 内的图形是凹 或凸 的 如果 在 内连续 且在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
定理1 如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,若在(a,b)内(1)f"(x)>0,则f(x)在[a,bl上的图形是凹的:(2) f"(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点定理 2 如果f(x)在(x-S,x+)内存在二阶导数，则点(xo,f(x))是拐点的必要条件是f"(x)=0.经济数学微积分
定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] ; (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 导数 若在 内 如果 在 上连续 在 内具有二阶 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数 , 则 点 ( , ( )) 0 x0 x f 是 拐 点 的 必 要 条 件 是 ( 0 ) 0 " f x =
方法1：设函数f(x)在x,的邻域内二阶可导且f"(x)= 0,(1)x,两近旁f"(x)变号,点(xo,f(x))即为拐点;(2) x两近旁f"(x)不变号,点(xo,f(x))不是拐点方法2：设函数f(x)在x,的邻域内三阶可导且f"(x)=0,而f"(x)± 0,那末(xo,f(x,)是曲线y= f(x)的拐点经济数学微积分
方法1: ( ) 0, ( ) , 0 0 f x = f x x 且 设函数 在 的邻域内二阶可导 (1) ( ) , ( , ( )) ; x0两近旁f x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 (2) ( ) , ( , ( )) . x0两近旁f x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点 方法2: ( ) . ( ) 0, ( ) 0, ( , ( )) ( ) , 0 0 0 0 0 曲 线 的拐点 且 而 那 末 是 设函数 在 的邻域内三阶可导 y f x f x f x x f x f x x = =
(5)函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形第一步确定函数y= f(x)的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数f"(x);第二步求出方程f(x)=0和f"(x)=0 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间经济数学微积分
利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 确定函数 y = f (x)的定义域,对函数进行 奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨 论,求出函数的一阶导数 ( ) ' f x 和二阶导数 ( ) " f x ; 求出方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间. (5) 函数图形的描绘