第九章拉普拉斯变换220pa"(s) = (-1)"g[t"f(t)7.(9.6)f(t)e"dt有证由F(s）=df(t)e-"dtF(s) =lsf(reJd?25tf(t)e dt =- fftf(t)对F（5）施行问样步骤，反复进行则可得（9.6）式，其中求导与积分的次序交换是有一定条件的，这里省略·后面磁到类似的运算也同样处理.例9.8求函数f(t)=tsinut的拉氏变换C解由例9.4已知f[sinwt7=一·根据（9.5）式有20sdr[sin ] =-,+] =+)例9.9求函数f（）一tcost的拉氏变换↓[e(1 + cos2t)y[cost= -解91drl+2 ds2L+4= 2( + 24.s2 + 32)s(+4)389.2.3天积分性质1.积分的像函数设FL(t)=F(s),则有-F(s);f(t)d/(9.7)一般地，有
9.2拉氏变换的性质·221f()d-F(s)(9.8)开次【f(t)dt、则g（t)=F(t）月g(0）=0.再利用证设g(t)=(9.3)式有 g(t)] s [g(t)1 -g(0),f(t)d一一F(s).反复利用上式即得(9.8)式即有S2.像函数的积分设f(t)=F（s),则有F(s)ds = 4[):(9. 9)一般地，有 dsf ds.. F(s)ds = fS(9. 10)n次F F(s)ds- fcftf(t)e"drjds证f(oe"d.jdtJe" d?J(t) .[-(e-"dt - y[rf(t)反复利用上式即可得（9.10）式sin的拉氏变换，例9.10求函数f(t)=解由[in及（9.9）式有arccot s.即
$9.2拉氏交换的质·223令s=1得costdtt:89.2.4延迟与位移性质1.延迟性质设/）7=F（s），当10时f（t）-0.则对任一非负实数有f(t-r)l-e"F(s)(9.11)证由定义有F(t-)-(t)e-"dt=f(-t)e"dt.令t布[f(t- t)f(r,)e"y ridt, -e "F(s).必须注意的足本性质中对(t)的要求，邸当1<.0时(1）一0.此时f(一)在<时为零.故f(一)应理解为(（-）.而不是f(t一t)u(t).因此(9.11)式完整的写法应为rf( - t)u(t -- )l=e "F(s).相应地就有F(s)f（t-)u(-T)例9.12设f(t)-sint，求[/(-51解由于y[sint]-+，根据（9.11)式有27=[sin(t -s.Lf(t- tvein-,+re-t.按照前面的解释.则应有-,le- sin(t -个-一级2
第九章拉普拉斯变换: 224-t=cos t,T0.2元试考虑，本题若直接用sin（cost来做拉氏变换会得到2什么样的结果，并分析其原因2例9.13求-1解日由子”门=e'u(t),有t>l4-e=e u(-)0t<1.2.位移性质设f(t)一F(s)则有[e"f(t)l = F(s - a)(a 为一复常数）证由定义有[e"f(t)]-e"f(t)e""atf(t)e-t rdt = F(s -a).9.2.5周期函数的像函数设f(t)是[o,十α)内以T为周期的函数，且f()在-个周期内逐段光滑，则±[f(t)]=f(t)e-"dte证由定义有Lf(t)J= 1"f(t)e""dt"f(t)e"dt +"" fute""ds