中心极限定理6.2测人们发现：大量的随机变量都服从正态分布，例如：量误差、身高、体重、产品的直径、长度、重量、高度等都近似服从正态分布因此，人们自然要问：为什么这些变量会服从正态分布呢？这是因为这些变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的。在概率论中，我们把有关论证随机变量之和的极限分布的一系列定理叫做中心极限定理
人们发现：大量的随机变量都服从正态分布, 例如：测 量误差、 身高、体重 、 产品的直径、长度、重量、高度 等都近似服从正态分布. 6.2 中心极限定理 在概率论中，我们把有关论证随机变量之和的极限分 布的一系列定理叫做中心极限定理. 因此, 人们自然要问：为什么这些变量会服从正态分 布呢？ 这是因为这些变量是由大量的相互独立的随机因素的 综合影响所形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起 的作用都是微小的
定理1（林德伯格-列维中心极限定理设随机变量X,X,.,X相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E(X,)= μ,D(Xr) =α >0 (k =1,2,...)则随机变量和Y,=ZX,的标准化和k=12xx-nY,-EYk=lDYNng的分布函数F（x）的极限是标准正态分布函数@（x）.即对任意的x有-e2dtlim F,(x)= lim P(Z, ≤ x) = @(x) = J。-Ln-0n80
定理1 ( ) ( ). F n 的 分 布 函 数 x 的 极 限 是 标 准 正 态 分 布 函 数 x 即 对 （林德伯格-列维中心极限定理） 1 2 , , , , , , 设随机变量 X X X n 相互独立 服从同一分布 且具有数学期望和方差 n n n n Y EY Z DY n X n n k k 1 则随机变量和 ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ) E Xk D Xk 2 k 的标准化和 n k Yn Xk 1 任意的 x 有 lim F (x) lim P{Z x} (x) n n n n 2 2 1 e d 2π t x t
定理1表明：无论各个随机变量X，X，服从什么分布，只要它们服从同一分布且相互独立，那么它们的和，当n很大时，就近似地服从正态分布。即有ZX,-nu近似近似N(O,1), Y, =Zx, N(nμ,ng")Eavn咖
定理1表明:无论各个随机变量 X1 , X2 , . 服从什么分 布, 只要它们服从同一分布且相互独立, 那么它们的和, 当n 很大时, 就近似地服从正态分布．即有 1 2 1 ~ (0 ,1), ~ ( , ) n k n k n n k k X n Z N Y X N n n n 近似 近似
例1：计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近于它的整数来计算。设所有的舍入误差是相互独立的随机变量，并目都在区间（-0.5.0.51上服从均匀分布，求300个数相加误差总和的绝对值不超过10的概率。解设随机变量X表示第i个加数的舍入误差，则在区间(-0.5,0.51上服从均匀分布，从而EX, = 0, DX,(i = 1,2, ...)12300Zx,-0由定理1知近似成立X~ N(0,1)5/300/12i=l300300P≤10/=P)-2≤ZZX所以X≤25=i=l~ Φ(2)- Φ(- 2) = 2Φ(2)-1 = 0.9544U
例1：计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近于它的 整数来计算。设所有的舍入误差是相互独立的随机变量，并且 都在区间 上服从均匀分布，求300个数相加误差总和 的绝对值不超过10的概率。 解 设随机变量 表示第 个加数的舍入误差，则在区间 上服从均匀分布，从而 由定理1知 近似成立 所以 (0.5,0.5] Xi i (0.5,0.5] ( 1,2, ) 12 1 EX i 0 , DX i i ~ (0,1) 300 12 0 5 1 300 1 300 1 N X X i i i i 2 5 1 10 2 300 1 300 1 i i i P X i P X 2 2 22 1 0.9544
如果把定理1中的X看成n重伯努利试验中第i次试验时A发生的次数（即X,服从0-1分布）并记P(A)=P，则Y, = EX, ~ B(n, p), EY, = np, DY, = np(1- p)k=1于是定理1可表现为如下的定理2的形式
如果把定理1中的Xi看成 n重伯努利试验中第 i 次试验 时A发生的次数（即Xi服从0-1分布）并记 P(A)=p, 则 于是定理1可表现为如下的定理 2的形式 1 ~ ( , ), n n k k Y X B n p EY np, n DY np(1 p) n