正态分布与厂分布的关系 定理44如N(0,1),则2~x2(1) 证∵5~N(0,1),2(x) 2元 令n=2,其概率密度为on(x) 则当x≤0时,qn(x)=0;当x>0时 m()=(√x)+ 9=(-√x) 2 √2z√ 0 k
2 正态分布与G-分布的关系 定理4.4 如x~N(0,1), 则x 2~ 2 (1) 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 0; 0 , ( ) 2 1 ~ (0,1), ( ) 2 x x x k x e e x x x x x x x x x N x e − − − − = = + − = = = = x x x x x 则当 时 当 时 令 其概率密度为 证
二元正态分布 定义若二元连续型随机变量(n)的联合概率 密度为 P(x, y)=kexp (s2-2/st+t2 2(1-p2) 其中s x-1 y=p k 2I0,02v1-p ,2G1,2,p均为常数,a1>0,2>0,pk1 称(2,m)服从二元正态分布
3 二元正态分布 定义 若二元连续型随机变量(x,)的联合概率 密度为 ( , ) . , , , , , 0, 0,| | 1 2 1 1 , , ( 2 ) 2(1 ) 1 ( , ) exp 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 称 服从二元正态分布 均为常数 其中 x − = − = − = − + − − = k y t x s x y k s st t
指数上的二次型可以写为 2 pst +t'=s-sp+sp-2 pst +t =s2(1-p2)+(t-sp)2 则整个指数上的项可以写为 (t-ps) 22(1-P 即联合概率密度可写为 p(r, y)=kexp 22(1-p2) (t-ps)
4 指数上的二次型可以写为 − − − = − + − − − − + = − + − − + = − + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2(1 ) 1 2 ( , ) exp ( ) 2(1 ) 1 2 (1 ) ( ) 2 2 t s s x y k t s s s t s s st t s s s st t 即联合概率密度可写为 则整个指数上的项可以写为
定理4.5二元正态分布的边缘分布为一元正 态分布 + 证q1(x)=q(x,y)d,而因dy=a2l, q21(x)= (t-p) exp 2元 220)}dt +∞o ∫-(-2s) 已 exp dt √2zσ √2丌√1-P 2 2(1-p2) 2 已 2元
5 定理 4.5 二元正态分布的边缘分布为一元正 态分布 2 1 2 1 2 2 ( ) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2(1 ) ( ) exp 2 1 1 2 1 2(1 ) ( ) 2 exp 2 1 1 ( ) ( ) ( , ) , , − − + − − + − + − = − − − − = − − − − + − = = = x s e dt t s e dt s t s x 证 x x y dy 而因dy dt
同样可证 q2(y)= (y-2)2 exp 2元O2 2 因此,联合概率密度中的参数山1,4,G10分别 是和m的期望值和标准差 还可证明参数就是与m的相关系数
6 同样可证 − = − 2 2 2 2 2 2 2 ( ) exp 2 1 ( ) y y 因此, 联合概率密度中的参数1 ,2 ,1 ,2分别 是x和的期望值和标准差. 还可证明参数就是x与的相关系数