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拉氏逆变换
拉氏逆变换
前面主要讨论了由已知函数(t)求它的象函数 F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问 题,即已知象函数F()求它的象原函数()本 节就来解决这个问题. 由拉氏变换的概念可知,函数(的拉氏变换 实际上就是(()e的傅氏变换
前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象函数 F(s), 但在实际应用中常会碰到与此相反的问 题, 即已知象函数F(s)求它的象原函数f(t). 本 节就来解决这个问题. 由拉氏变换的概念可知, 函数f(t)的拉氏变换, 实际上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏变换
因此,按傅氏积分公式,在f1)的连续点就有 f(tu(t)e r +oo 2兀 f(o)u(r)e re jo dt ejo do (B+jOt dT 2丌 edo f(r)e 2兀 F(B+joedo, t>0 等式两边同乘以e,则 (0)-1f(+jo)e+)d,>0 2丌
因此, 按傅氏积分公式, 在f(t)的连续点就有 ( j ) e d , 0 2 1 e d ( ) e d 2 1 ( ) ( ) e e d e d 2 1 ( ) ( ) e j 0 j ( j ) j j = + = = + - + - + - + + - + - - - - F t f f u f t u t t t t t b b b b ( j )e d , 0 2 1 ( ) ( j ) = + + - + f t F t t b b 等式两边同乘以e bt , 则
f(t)= F(B+joe( (B+j) dot>o 2丌 令月+j=s,有 1 cB+ f(t) F(s)eds,t>0(2.16) 2丌j-j0 右端的积分称为拉氏反演积分,它的积分路线 是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚 部的正无穷.而积分路线中的实部B有一些 随意,但必须满足的条件就是e/(O)u()的0到 正无穷的积分必须收敛计算复变函数的积分 通常比较困难,但是可以用留数方法计算
右端的积分称为拉氏反演积分, 它的积分路线 是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚 部的正无穷. 而积分路线中的实部b则有一些 随意, 但必须满足的条件就是e -bt f(t)u(t)的0到 正无穷的积分必须收敛. 计算复变函数的积分 通常比较困难, 但是可以用留数方法计算. ( ) e d , 0 (2.16) 2 j 1 ( ) j , ( j ) e d , 0 2 1 ( ) j j ( j ) = + = = + + - + - + f t F s s t s f t F t s t b b b b b 令 有