协方差的计算 在已知两个随机变量和r的联合分布的情况下怎 样计算它们的协方差cov(,m)呢,这一点书上并没 有明讲 cov(S,nFEIS-Es(nenI 4Em升+EEn7= -E(Sn-ESEn-enEStESer -E(En-ESEn 即相乘的均值减去均值的相乘 其中Eξ和E是通过边缘分布计算的,因此关键是如 何计算E(m)
2 协方差的计算 在已知两个随机变量x和h的联合分布的情况下怎 样计算它们的协方差cov(x,h)呢, 这一点书上并没 有明讲. cov(x,h)=E[(x-Ex)(h-Eh)]= =E[xh-xEh-hEx+ExEh]= =E(xh)-ExEh-EhEx+ExEh= =E(xh)-ExEh 即相乘的均值减去均值的相乘. 其中Ex和Eh是通过边缘分布计算的, 因此关键是如 何计算E(xh)
对于离散型随机变量,假设,n的概率函数为 P(5=x,=y)=P12(ij=1,2,,则 E(m)= ciVil 对于连续型随机变量,假设苧,的联合概率密 度为(x,y),则 ∞+∞ E(5m=xyo(x, y)dydx
3 对于离散型随机变量, 假设x,h的概率函数为 P(x=xi ,h=yj )=pij, (i,j=1,2,...),则 = i j i j pi j E(x h) x y + - + - E(x h) = x y(x, y)dydx 对于连续型随机变量, 假设x,h的联合概率密 度为(x,y), 则
例假设ξ,的联合概率函数如下表所示 0 1/3 0 1/12 1/3 0 1/6 0 5/12 0 0 E(2m)=(-1)×0×0+(-1)××+(-1)×1× 312 +0×0×-+0×-×0+0×1×0 5 13 +2×0×一+2×-×0+2×1×0 12 36
4 例 假设x,h的联合概率函数如下表所示 x h 0 1/3 1 -1 0 1/12 1/3 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0 36 13 0 2 1 0 3 1 2 12 5 2 0 0 0 1 0 3 1 0 6 1 0 0 3 1 ( 1) 1 12 1 3 1 ( ) ( 1) 0 0 ( 1) + + + = - + + + E x h = - + - + -
而与与n的边缘分布及数学期望为 0 2 P 5/12165/12 77 0 1/3 P7/121/121/3 5105 1113 则E= E7= 121212 36336 cov(S, n=E(Sn-eSEn 13513 221 361236432
5 而x与h的边缘分布及数学期望为: x -1 0 2 P 5/12 1/6 5/12 h 0 1/3 1 P 7/12 1/12 1/3 432 221 36 13 12 5 36 13 cov( , ) ( ) 36 13 3 1 36 1 , 12 5 12 10 12 5 = - - = - = - = = - + = = + = x h x h x h x h E E E 则E E
在研究任何连续型随机变量的概率密度函数 x)的时候,通常可将其表示为(x)=k(x)的形 式,其中fx)表示了以(x)的形状,而系数k的作用 则是为了保证∞(x)的性质 +∞O ∫o(x)dk=1因此知道了f(x)系数k也可求得 假设=∫f(x),则k=,即(x)=f(x) 则|@(x)bx=-「f(x) x
6 在研究任何连续型随机变量的概率密度函数 (x)的时候, 通常可将其表示为(x)=kf(x)的形 式, 其中f(x)表示了(x)的形状, 而系数k的作用 则是为了保证(x)的性质 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 , ( ) 1 ( ) , ( ) 1, ( ) , = = = = = = = + - + - + - + - s s f x dx s x dx f x s x s s f x dx k x dx f x k 则 假设 则 即 因此知道了 系数 也可求得