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拉氏变换的性质 本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在 拉氏变换的实际应用中都是很有用的 为方便起见,假定在这些性质中,凡是要 求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在 定理中的条件,并且把这些函数的增长 指数都统一地取为c.在证明性质时不再 重述这些条件
2 拉氏变换的性质 本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在 拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要 求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在 定理中的条件, 并且把这些函数的增长 指数都统一地取为c. 在证明性质时不再 重述这些条件
1.线性性质 若a,B是常数 [1(O)]=F1(s),<[2()=F2(s), 则有 x[o1()+2(O)]=aF1(s)+BF2(S) [aF1(s)+BF2(s)]=a1()+2() 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出
3 1. 线性性质 若a,b是常数 L [f1 (t)]=F1 (s), L [f2 (t)]=F2 (s), 则有 L [af1 (t)+bf2 (t)]=aF1 (s)+bF2 (s) L -1 [aF1 (s)+bF2 (s)]=af1 (t)+bf2 (t) 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出
微分性质若[(O)=F(s) 则有()=sF(s)-f(0)(23) 证根据分部积分公式和拉氏变换公式 uav=uv vdu CIf(t]=Lf'(tedt=l esd f(t) + e sf(oo-Jf()de -f(0)+s f(e"dt=s/f(J-f(O) EPI(t]=sF(s)-f(o)(Re(s)>c)
4 微分性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0) (2.3) 证 根据分部积分公式和拉氏变换公式 [ ( )] ( ) (0) (Re( ) ) (0) ( ) e d [ ( )] (0) e ( ) ( )de [ ( )] ( ) e d e d ( ) d | d 0 0 0 0 0 f t sF s f s c f s f t t s f t f f t f t f t f t t f t u v uv v u s t s t s t s t s t b a b a b a = - = - + = - = - = = = - + - + - + - + - + - L L L 即
推论若[f()=F(s),则 [f"(t)]=sx[(O)]f(0) =S{S<[f(t)]f(0)}f(0 =s2<[()]-sf(0)f(0 f(t)]=sx/n1)()]-fn1(0) ="F(s)-sn-1f(0)-s22f(0)-..-n(0)(24) 特别,当初值(O)=f(0)=…m-(O)=0时,有 [f()]=sF(s),[f"(O=s2fF(s),… Ifn(DI-s"F(s) 此性质可以使我们有可能将的微分方程转 化为F()的代数方程
5 推论 若L [f(t)]=F(s), 则 L [f ''(t)]=sL [f'(t)]-f '(0) =s{sL [f(t)]-f(0)}-f '(0) =s 2L [f(t)]-sf(0)-f '(0) ... L [f (n) (t)]=sL [f (n-1)(t)]-f (n-1)(0) =s nF(s)-s n-1 f(0)-s n-2 f '(0)-...-f (n-1)(0) (2.4) 特别, 当初值f(0)=f '(0)=...=f (n-1)(0)=0时, 有 L [f '(t)]=sF(s), L [f ''(t)]=s 2F(s), ..., L [f (n) (t)]=s nF(s) (2.5) 此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转 化为F(s)的代数方程