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拉氏变换的应用
2 拉氏变换的应用
对一个系统进行分析和研究,首先要知道该系 统的数学模型,也就是要建立该系统特性的数 学表达式.所谓线性系统,在许多场合,它的数 学模型可以用一个线性微分方程来描述,或者 说是满足叠加原理的一类系统.这一类系统无 论是在电路理论还是在自动控制理论的研究 中,都占有很重要的地位.本节将应用拉氏变 换来解线性微分方程和建立线性系统的传递 函数的概念
3 对一个系统进行分析和研究, 首先要知道该系 统的数学模型, 也就是要建立该系统特性的数 学表达式. 所谓线性系统, 在许多场合, 它的数 学模型可以用一个线性微分方程来描述, 或者 说是满足叠加原理的一类系统. 这一类系统无 论是在电路理论还是在自动控制理论的研究 中, 都占有很重要的地位. 本节将应用拉氏变 换来解线性微分方程和建立线性系统的传递 函数的概念
微分方程的拉氏变换解法 首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的 代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆 变换得最后的解.如下图所示 象原函数 (微分方程的解)取拉氏逆变换 象函数 解代数 方程 象函数的 微分方程取拉氏变换代数方程
4 微分方程的拉氏变换解法 首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的 代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆 变换得最后的解. 如下图所示. 象原函数 (微分方程的解) 象函数 微分方程 象函数的 代数方程 取拉氏逆变换 取拉氏变换 解代数 方程
例1求方程y+2y-3y=e-满足初始条件 0 t=0 t=0 的解 设[ν(O)=Y(s)对方程的两边取拉氏变换,并 考虑到初始条件,则得 s2Y(s)-sy(0)-y(0)+2sY(Ss)-2y(0) 3Y(s) s+1 即s2Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s)= S+1
5 例1 求方程 y''+2y'-3y=e -t 满足初始条件 0, 1 0 0 = = t= t= y y 1 1 ( ) 1 2 ( ) 3 ( ) 1 1 3 ( ) ( ) (0) (0) 2 ( ) 2 (0) 2 2 + - + - = + - = - - + - s s Y s sY s Y s s Y s s Y s sy y sY s y 即 的解. 设L [y(t)]=Y(s). 对方程的两边取拉氏变换, 并 考虑到初始条件, 则得