定理1在欧氏空间中,V,n∈V,有 <5,>2≤<5,5><1,7>……(1) 当且仅当与与n线性相关,等式成立 说明:①在R"中取5=(a1…an)7=(b1…bn)∈R 则<5,>=ab+…+abn,由定理1得: (a1b1+…+anbn)2≤(a1+…an(b12+…bn2) 这正是大家熟知的 Cauchy(柯西)不等式
定理1 在欧氏空间中， ， V ，有： , , (1) ， 2 当且仅当 与 线性相关，等式成立。 ① , ( ), ( ) . 1 1 n n n n 在R 中 取 = a a = b b R , , 1 1 n n 则 = a b ++ a b 由定理1得： ( ) ( )( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 1 n n n n a b ++ a b a +a b +b 这正是大家熟知的Cauchy（柯西）不等式。 说明：
在CIa,b中,f,g∈C[a,b],规定 <f,>=gx则∫"dh 这也是大家熟知的 Schwarz(施瓦兹)不等式 因此我们也把不等式(1)叫 Cauchy Schwarz不等式 ②v,n∈V,则 5+m+,当与n正交时,等式成立 称为内积勾股定理
因此我们也把不等式（１）叫Cauchy －Shwarz不等式。 在 C a b [ , ] 中， f , g C[a,b] ，规定 , b a = f g fgdx 则 2 2 b b b a a a fgdx f dx g dx 这也是大家熟知的Shwarz(施瓦兹)不等式。 ② , V,则： + + ，当 与 正交时，等式成立。 称为内积勾股定理
定义3设5,7是欧氏空间V的两个非零向量 2与n的夹角为0定义:cos <5,7 说明:①∵:<4m>2x5,5×<,n>=k 1< <5,7> <1 这样定义是符合意义的,且和7的夹角0 是唯一确定的(在[0,x1上)
设 , 是欧氏空间 V 的两个非零向量. 与 的夹角为θ.定义: = , cos 说明: ① ∵ 2 2 2 . , , = ∴ 1 , 1 − ∴这样定义是符合意义的, 且 和 的夹角θ 是唯一确定的 (在[0,]上) 定义3
cos= 5, 则: 6= arccos ③当O=时,cosO=0即<5,4>=0称与n正交 补充定义:零向量与任意向量均正交 推广:在欧氏空间中,与向量m…m, 中每个向量正交则n1…n的任意线性组 合也正交即<5,>=03<5,∑a1,>=0
② 由 = , cos 则: = , arccos ③ 当 ,cos 0. , 0 . 2 时 即 称与正交 = = = 补充定义: 零向量与任意向量均正交. 推广：在欧氏空间中， 与向量n 中每个向量正交.则 与1 的任意线性组 合也正交.即 , 0 , 0 1 = = = n i i ai i
定义4在欧氏空间V中.v,∈V则均与n 的距离d(,m)=k-m 说明:①7的距离实际是-的长度 ②距离的性质 (i)正定性:当≠付时,d(4,)>0 ()对称性:d(5,)=a(,5 )三角不等式(5,17)≤(5,5)+(与,) 称()、(i)、i)为距离公理 (ⅲ)在解析几何中的意义是:三角形两边 之和大于第三边
定义4 在欧氏空间 V 中. , , V 则与 的距离 d(,) = − 说明：① 与 的距离实际是 − 的长度. ② 距离的性质: （i）正定性：当 时,d(,) 0 : (ii) 对称性： d(,) = d(, ); (iii) 三角不等式： d(,) d(, ) + d( ,). 称(i)、(ii)、(iii)为距离公理。 （iii）在解析几何中的意义是：三角形两边 之和大于第三边