习题五 设E是R中一族(开的、闭的、半开半闭的)区间的并集.证明E是 Lebesgue 可测集 2.设∫是R上有界的单调增加函数.证明∫在R上几乎处处可导并且f'在R 上L可积 3.试在[0,1上作一严格单调增加的函数f(x),使得在[O,1上∫(x)=0ae 提示:利用§51定理6 4.计算函数∫(x)=sinx在[0,2x]上的全变差,并求V( 5.设∫和g是[a,b上的有界变差函数.证明g是[a,b上的有界变差函数 6.证明若∫是[a上的有界变差函数,则团也是[ab]上的有界变差函数举 例说明反过来结论不一定对 7.若团是[ab]上的有界变差函数,并且∫在[ab]上连续,则∫是[ab]上的有 界变差函数 8.设∫是[a,b上的可微函数并且f有界,则∫是[a,b]上的有界变差函数 9.证明f(x)=cosx2是[0,x]上的有界变差函数 10.设∫是[O,a]上的有界变差函数,F(x)=f()dt(F(0)=0).证明F是 [O,a]上的有界变差函数 提示先设∫是单调增加的 1l设{n}是[a,b上的一列有界变差函数,使得V(n)≤M(n≥1),并且 limf(x)=f(x),x∈[a,b].证明f∈V[a,b并且V(f)≤M 12.证明:函数∫在[a,b上是有界变差的当且仅当存在[a,b]上的有界增函数q, 使得当a≤x<y≤b时, (y)-f(x)≤q(y)-o(x 3.证明函数 1.当0<x f(x)=In 0 在[0,是连续的有界变差的.但f在[0,]上不满足任何a>0阶的 Lipschitz条件.即
160 习 题 五 1. 设 E 是 1 R 中一族(开的 闭的 半开半闭的)区间的并集. 证明 E 是 Lebesgue 可测集. 2. 设 f 是 1 R 上有界的单调增加函数. 证明 f 在 1 R 上几乎处处可导并且 f ′在 1 R 上 L 可积. 3. 试在[0,1] 上作一严格单调增加的函数 f (x), 使得在[0,1] 上 f ′(x) = 0 a.e.. 提示: 利用 5.1 定理 6. 4. 计算函数 f (x) = sin x 在[0, 2π ]上的全变差, 并求 ( ). 0 V f x 5. 设 f 和 g 是[a,b]上的有界变差函数. 证明 fg 是[a,b]上的有界变差函数. 6. 证明若 f 是[a,b]上的有界变差函数, 则 f 也是[a,b]上的有界变差函数.举 例说明反过来结论不一定对. 7. 若 f 是[a,b]上的有界变差函数, 并且 f 在[a,b]上连续, 则 f 是[a,b]上的有 界变差函数. 8. 设 f 是[a,b]上的可微函数并且 f ′有界, 则 f 是[a,b]上的有界变差函数. 9. 证明 2 f (x) = cos x 是[0, π ]上的有界变差函数. 10. 设 f 是[0,a]上的有界变差函数, ( ) ( (0) 0). 1 ( ) 0 = = ∫ f t dt F x F x x 证明 F 是 [0,a]上的有界变差函数. 提示: 先设 f 是单调增加的. 11. 设 { }n f 是 [a,b] 上的一列有界变差函数 , 使 得 V ( f ) ≤ M (n ≥ 1), n b a 并 且 lim f (x) f (x), x [a,b]. n n = ∈ →∞ 证明 f ∈V[a,b]并且V ( f ) M. b a ≤ 12. 证明: 函数 f 在[a,b]上是有界变差的当且仅当存在[a,b]上的有界增函数ϕ , 使得当 a ≤ x < y ≤ b 时, f ( y) − f (x) ≤ ϕ( y) −ϕ(x). 13. 证明函数 = − < ≤ = 0 0. , 2 1 , 0 ln 1 ( ) x x f x x 当 当 在 ] 2 1 [0, 是连续的有界变差的. 但 f 在 ] 2 1 [0, 上不满足任何α > 0 阶的 Lipschitz 条件. 即
不存在常数M>0,使得对任意x,y∈[0,],成立 (x)-f(y)≤M1x-y 14.设∫是[a,b上的连续函数,g是[a,b]上的有界变差函数.则成立 /(x)dg(x)s sup(/(x)v(g) asx≤b 15.设∫在[c,d]上满足 Lipschitz条件,g是[a,b上的绝对连续函数,并且 c≤g(x)≤d.则复合函数∫(g(x)是[a,b]上的绝对连续函数 16.设∫是[c,d]上的绝对连续函数,g是[a,b]上严格增加的绝对连续函数,并且 c≤g(x)≤d.则复合函数∫(g(x))是[a,b]上的绝对连续函数 17设∫是[ab]上的绝对连续函数,P21.则是[ab]上的绝对连续函数 18.设∫,g是[a,b上的绝对连续函数.证明是[a,b上的绝对连续函数 19.设∫是[ab]上的绝对连续函数,并且在[a,b]上∫(x)=0ae.证明∫在 a,b]上为常数 20.利用53定理5证明,若f是[a,b上的L可积函数,并且对任意a≤c≤b,恒 有=0.则f=0ac 21.设{fn}是[a,b]上的一列绝对连续函数,并且存在[a,b]上的可积函数F(x), 使得|f≤F(n≥1)ae.又设lmf(x)=f(x), lim f(x)=g(x),ae.证明∫是 a,b]上的绝对连续函数,并且∫’=gae 22设∫是[a,b]上的绝对连续函数,并且∫(x)≥0,ae.证明∫是单调增加的 23.设∫是[a,b]上的单调增加函数.证明∫可以分解成∫=g+h,其中g是单 调增加的绝对连续函数,h是单调增加的函数并且h’=0ae. 24.设∫是[a,b上的单调增加函数,并且成立 f(x)dx=f(b-f(a) 则∫是[a,b]上的绝对连续函数 25证明函数f(x)=xyr(/(0)=0)在[0,上处处可导,但不是绝对连续的 提示:考察∫(x)在[0,1上的可积性 26.证明:定义在区间[a,b]上的实值函数满足 Lipschitz条件当且仅当它是有界可 测函数的不定积分 27设fn(n=12,…)是ab]上的单调增加的绝对连续函数并且级数∑f(x)在
161 不存在常数 M > 0, 使得对任意 ], 2 1 x, y ∈[0, 成立 ( ) ( ) . α f x − f y ≤ M x − y 14. 设 f 是[a,b]上的连续函数, g 是[a,b]上的有界变差函数. 则成立 f (x)dg(x) sup f (x) V (g). b a a x b b a ≤ ≤ ≤ ∫ 15. 设 f 在 [c, d] 上满足 Lipschitz 条件, g 是[a,b] 上的绝对连续函数, 并且 c ≤ g(x) ≤ d. 则复合函数 f (g(x)) 是[a,b]上的绝对连续函数. 16. 设 f 是[c, d]上的绝对连续函数, g 是[a,b]上严格增加的绝对连续函数, 并且 c ≤ g(x) ≤ d. 则复合函数 f (g(x)) 是[a,b]上的绝对连续函数. 17. 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数, p ≥ 1. 则 p f 是[a,b]上的绝对连续函数. 18. 设 f , g 是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 fg 是[a,b]上的绝对连续函数. 19. 设 f 是 [a,b] 上的绝对连续函数, 并且在 [a,b] 上 f ′(x) = 0 a.e.. 证明 f 在 [a,b]上为常数. 20. 利用 5.3 定理 5 证明, 若 f 是[a,b]上的 L 可积函数, 并且对任意 a ≤ c ≤ b, 恒 有 = 0, ∫ c a fdx 则 f = 0 a.e.. 21. 设{ }n f 是[a,b]上的一列绝对连续函数, 并且存在[a,b]上的可积函数 F(x), 使得 f ′ ≤ F (n ≥ 1) a.e.. n 又设lim f (x) f (x), lim f (x) g(x), a.e.. n n n n = ′ = 证明 f 是 [a,b]上的绝对连续函数, 并且 f ′ = g a.e.. 22. 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数, 并且 f ′(x) ≥ 0, a.e..证明 f 是单调增加的. 23. 设 f 是[a,b]上的单调增加函数. 证明 f 可以分解成 f = g + h, 其中 g 是单 调增加的绝对连续函数, h 是单调增加的函数并且 h′ = 0 a.e.. 24. 设 f 是[a,b]上的单调增加函数, 并且成立 f (x)dx f (b) f (a). b a ′ = − ∫ 则 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 25. 证明函数 ( (0) 0) 1 ( ) sin 2 2 = f = x f x x 在[0, 1]上处处可导, 但不是绝对连续的. 提示: 考察 f ′(x) 在[0, 1]上的可积性. 26. 证明: 定义在区间[a,b]上的实值函数满足 Lipschitz 条件当且仅当它是有界可 测函数的不定积分. 27. 设 f (n = 1,2,L) n 是[a,b]上的单调增加的绝对连续函数, 并且级数 ∑ ∞ =1 ( ) n n f x 在
[ab]处处收敛证明f(x)=∑f(x)是[ab]上的绝对连续函数 28设}是上的一列绝对连续函数使得∑/(x)<+,并且级数 ∑fn(x)在[ab]中某点c收敛证明 ()级数∑fn(x)在[a,b]上处处收敛 (i).f(x)=∑f(x)是[a,b]上的绝对连续函数,并且成立 f(x)=∑∫(x)ae 提示:利用定理637和第四章习题第18题的结论 29.设∫是[a,b上的绝对连续函数.证明 f(x)d=() 30.设∫是[a,b上的绝对连续函数,Ec[a,b]并且m(E)=0.证明 m(f(E))=0 提示:利用定理236和直线上开集的构造定理
162 [a,b]处处收敛. 证明 f (x) = ∑ ∞ =1 ( ) n n f x 是[a,b]上的绝对连续函数. 28. 设{ }n f 是[a,b]上的一列绝对连续函数, 使得 ( ) , 1 ∑ ′ < +∞ ∫ ∞ n= b a f n x dx 并且级数 ∑ ∞ =1 ( ) n n f x 在[a,b]中某点c 收敛. 证明 (i).级数∑ ∞ =1 ( ) n n f x 在[a,b]上处处收敛. (ii). f (x) = ∑ ∞ =1 ( ) n n f x 是[a,b]上的绝对连续函数, 并且成立 ( ) ( ) a.e.. 1 ∑ ∞ = ′ = ′ n n f x f x 提示: 利用定理 6.3.7 和第四章习题第 18 题的结论. 29. 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 f (x) dx V ( f ). b a b a ′ = ∫ 30.设 f 是 [a,b] 上的绝对连续函数 , E ⊂ [a,b] 并 且 m(E) = 0. 证 明 m( f (E)) = 0. 提示: 利用定理 2.3.6 和直线上开集的构造定理