《电动力学》课程授课教案（讲稿）第六章 狭义相对论

电动力学讲稿●第六章狭义相对论A[ct2-(x12+y12+212)]=ct2 -(x + y2 +22)(4)由（3）和（4）得A?=1=A=±1。正如坐标系平移和旋转变换，变换应该是连续的（注意空间反演变换不是连续变换），舍去负根。所以对于任意两事件，（2）式仍成立，总有ct2 -(x2+y2 +2)=ct2-(x2+y2+22)(5)如果第一事件不是发生在零时刻，也不是发生在坐标原点。在惯性系2，两事件表为(1,Ji,21,4)和(x2,J2,22,1)，定义间隔s2 =c (52 -1) -[(2 -x) +(y2 - ) +(22 -2.)(6)在惯性系2，两事件表为(,，2,)和(2,y2,22,)，间隔为52 =c(5-1)~-[(3-x) +(2-以) +(32-2) (7)同样有s? = s12(8)这称为间隔不变性。讨论：间隔是将时间和空间距离统一起来的一个概念。间隔（不变性）使时间和空间建立了联系（与惯性系Z中情形比较，在Z中空间距离减小将伴随时间间隔的减小：Ex.1参照系Z相对于Z以速度v沿x轴方向运动，在Z'上有一静止光源S和一反射镜M，两者相距z。。从S发出闪光经M反射回到S。求两参照系上观察到的闪光发出和接收的时间和间隔。B生解：在'上观察到的时间为Z!Z4r'= 2=07cS间隔为vAt(As)* =c?(Ar)* -(Axr)* -(Ay)* -(4-)=c(r)=c2=428在上观察，由几何关系可得光信号传播路程为（Ay=△z=0)vAt2z0c△t = 2,+zAtUVc?-y?注意到Ax=vt，两事件间隔6

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 6 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 A ct x y z ct x y z ⎡ ⎤ ' ''' − + + = − ++ ⎣ ⎦ （4） 由（3）和（4）得 2 A A = ⇒ =± 1 1。 正如坐标系平移和旋转变换，变换应该是连续的（注意空间反演变换不是连续变换）， 舍去负根。所以对于任意两事件，（2）式仍成立，总有 ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 ct x y z ct x y z − ++ = − ++ ' ''' （5） 如果第一事件不是发生在零时刻，也不是发生在坐标原点。在惯性系 Σ ，两事件表为 ( ) 1 1 11 x , yzt 和( ) 2 2 22 x , yzt ，定义间隔 ( ) ( )( )( ) 2 2 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 s ct t x x y y z z ≡ −− − +− +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ （6） 在惯性系Σ'，两事件表为( ) ' ' '' 1 1 11 x , yzt 和( ) ' ' '' 2 2 22 x , yzt ，间隔为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2' ' ' ' ' ' ' ' 21 2 1 2 1 2 1 s ct t x x y y z z ' ⎡ ⎤ ≡ −− − +− +− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （7） 同样有 2 2 s s = ' （8） 这称为间隔不变性。 讨论： 间隔是将时间和空间距离统一起来的一个概念。间隔（不变性）使时间和空间建立了联 系（与惯性系Σ 中情形比较，在Σ'中空间距离减小将伴随时间间隔的减小； Ex. 1 参照系Σ'相对于Σ 以速度 v 沿 x 轴方向运动，在Σ'上有一静止光源 S 和一反射镜 M， 两者相距 ' 0 z 。从 S 发出闪光经 M 反射回到 S。求两 参照系上观察到的闪光发出和接收的时间和间隔。 解：在Σ'上观察到的时间为 ' 0 2 ' z t c Δ = 间隔为 ( ) ()( ) ( ) ( ) ( ) 2 2222 2 2 ' 2 2 2 '2 0 0 ' '''' 2 ' 4 s ct x y z z ct c z c Δ = Δ −Δ −Δ −Δ ⎛ ⎞ =Δ= = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 在Σ 上观察，由几何关系可得光信号传播路程为(Δy z =Δ = 0) 2 2 0 2 2 v t ct z ⎛ ⎞ Δ Δ= + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 2 2 2z t c v ⇒ Δ= − 注意到 Δ=Δ x v t ，两事件间隔

电动力学讲稿·第六章狭义相对论(As)"= c (t) -(Ax)-(Ay) -()° =c (At) -(Ax)= c(At)* - y (At) = 4z由间隔不变性4z = 4z%2=由变换的连续性，2。=2。，所以220cAr'At'(9)At-Vc?-y?Nc?-y?/1-(v/c)可见t>t。三、Lorentz变换正如经典时空观集中反映在Galileo变换一样，相对论时空观集中反映在从一个惯性系到另一个惯性系的时空坐标变换式一一Lorentz变换。为简单起见，选两坐标系的x和x轴都沿Z相对于Z的运动方向。设第一事件发生在零时刻，且在坐标原点处（零时刻两坐标系具有相同的坐标原点），第二事件在中以(x,y,z,t)表示，在'以(x,y=,t)表示。注意到变换是线性的，可写为x'=aux+a2cty'=y(10)2'= z[ct'= a2ix +a22ct由间隔不变性有c2112-(x12+ y12+22)=c22 -(x2 + y2 +22)(a2ix+a2ct) -[(ax+a2ct) + y2+22=cp -(x2+ y +22)=-比较系数，有[a2i -ai = -1(11)a2i22-aa12= 0[a -az =1注意到x和x轴同向，应取α，O，而t和t的正向相同（都是时间向未来增大），应有α2>0，由（11）式中第一和第三式ar=/1+a](12)[a2=/1+d代入（11）式中第二式，有7

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 7 () () ( ) ( ) () () ( ) () () 2 2222 22 2 2 2 2 22 2 0 Δ = Δ −Δ −Δ −Δ = Δ −Δ = Δ − Δ = s ct x y z ct x ct vt z 4 由间隔不变性 2 '2 ' 00 00 4 4 zz zz = ⇒ =± 由变换的连续性， ' 0 0 z z = ，所以 ( ) ' 0 22 22 2 2 ' ' 1 / z ct t t cv cv v c Δ Δ Δ= = = − − − （9） 可见 Δ >Δ t t ' 。 三、Lorentz 变换 正如经典时空观集中反映在 Galileo 变换一样，相对论时空观集中反映在从一个惯性系 到另一个惯性系的时空坐标变换式——Lorentz 变换。 为简单起见，选两坐标系的 x 和 x '轴都沿Σ'相对于Σ 的运动方向。设第一事件发生在 零时刻，且在坐标原点处（零时刻两坐标系具有相同的坐标原点），第二事件在 Σ 中以 ( ) x, yzt 表示，在Σ'以( ) x ', ', ', ' yzt 表示。注意到变换是线性的，可写为 11 12 21 22 ' ' ' ' x a x a ct y y z z ct a x a ct ⎧ = + ⎪ ⎪ = ⎨ = ⎪ ⎪ ⎩ = + （10） 由间隔不变性有 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 ct x y z ct x y z ' ''' − ++ = − ++ ( )( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 21 22 11 12 a x a ct a x a ct y z c t x y z ⇒ + − + ++ = − ++ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 比较系数，有 2 2 21 11 21 22 11 12 2 2 22 12 1 0 1 a a aa aa a a ⎧ − =− ⎪ ⎨ − = ⎪ ⎩ − = （11） 注意到 x 和 x ' 轴同向，应取 11 a > 0 ，而t 和t ' 的正向相同（都是时间向未来增大），应有 22 a > 0 ，由（11）式中第一和第三式 2 11 21 2 22 12 1 1 a a a a ⎧ ⎪ = + ⎨ ⎪ = + ⎩ （12） 代入（11）式中第二式，有

电动力学讲稿●第六章狭义相对论a2i/1+=/1+ia2(13)= (1+)=(1+) = =代回（13）式，有(14)a2i=ai2对于参照系Z'的原点应用变换（10）式中第一式，有O=avt+a,ct2=(15)cair由（12）式中第一式a=/1+=/1+=y1+(v/c)=i=1+(v/c)a-(16)au:Vi-(v/c)由（15)、（16）和（14）式-v/c(17)ai2=a211-(v/c)"由（12）式中第二式1(18)a1-(v/c)"将（16)、（17）和（18）式代入变换（10）式x'+vt'x-vt1beC2y'=yy'=y(19)其反变换为-1=2Z=2t'+3v2c2C-反变换与原变换相比，V→-V。（19）中的两式称为Lorentz变换。2ZDEx.2在右图所示的系统中，设Z'相对于Z的运动速度为X0.8c，在Z上观察，1秒后闪光信号同时被P和P2接收到，P求P，和P,接收到信号在Z上的时刻和位置。00'8

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 8 2 2 21 12 21 12 a a aa 1 1 + =+ （13） ( )( ) 2 2 22 2 2 21 12 21 12 21 12 ⇒ + =+ ⇒ = a a aa a a 1 1 代回（13）式，有 21 12 a a = （14） 对于参照系Σ'的原点应用变换（10）式中第一式，有 11 12 0 = a vt a ct + 12 11 a v a c = − （15） 由（12）式中第一式 ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 11 21 12 11 11 11 a a a vc a a vc a = + = + = + ⇒ =+ 1 1 1/ 1/ ( ) 11 2 1 1 / a v c ⇒ = − （16） 由（15）、（16）和（14）式 ( ) 12 21 2 / 1 / v c a a v c − = = − （17） 由（12）式中第二式 ( ) 22 2 1 1 / a v c = − （18） 将（16）、（17）和（18）式代入变换（10）式 2 2 2 2 2 ' 1 ' ' ' 1 x vt x v c y y z z v t x c t v c ⎧ − = ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ − ⎪ = ⎪ ⎪ − ⎩ 其反变换为 2 2 2 2 2 ' ' 1 ' ' ' ' ' 1 x vt x v c y y z z v t x c t v c ⎧ + = ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ + ⎪ = ⎪ ⎪ − ⎩ （19） 反变换与原变换相比，v v → − 。（19）中的两式称为 Lorentz 变换。 Ex. 2 在右图所示的系统中，设 Σ' 相对于 Σ 的运动速度为 0.8c，在Σ 上观察，1 秒后闪光信号同时被 P1 和 P2 接收到， 求 P1 和 P2 接收到信号在Σ'上的时刻和位置

电动力学讲稿●第六章狭义相对论解：Pi接收到信号在上的空时坐标为（c,0,0,1)，根据Lorentz变换，这一事件在'上的空时坐标为x-vtc-Vcx!V1-v2/c23V1-v?/c?y'=02=0t-vx/c?1-v/c_13Vi-v2 /c2i-y2/c?即P,接收到信号在Z'上的空时坐标为(c/3,0,0,1/3)。Pz接收到信号在上的空时坐标为（-c,0,0,1)，由Lorentz变换，这一事件在Z'上的空时坐标为(-3c,0,0,3)。P和P2接收到信号这两个事件在Z和上，有(As) = -4c2Z:A=0Ax=2cAr'=-31_10(As)=-4c22':4Ar'=3可见，在相对论，时间、空间距离、同时性等是相对的，但两事件间隔是绝对的。9

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 9 解：P1 接收到信号在Σ 上的空时坐标为(c, 0, 0,1) ，根据 Lorentz 变换，这一事件在Σ'上的 空时坐标为 22 22 2 22 22 ' 1/ 1/ 3 ' 0 ' 0 / 1/ 1 ' 1/ 1/ 3 x vt c v c x vc vc y z t vx c v c t vc vc ⎧ − − === ⎪ − − ⎪ ⎪⎪ = ⎨ = ⎪ ⎪ − − ⎪ === ⎪⎩ − − 即 P1 接收到信号在Σ'上的空时坐标为(c / 3, 0, 0,1/ 3) 。 P2 接收到信号在Σ 上的空时坐标为(−c, 0, 0,1) ，由 Lorentz 变换，这一事件在Σ'上的 空时坐标为( ) −3 , 0, 0, 3 c 。 P1 和 P2 接收到信号这两个事件在Σ 和Σ'上，有 ( ) ( ) 2 2 2 2 :0 2 4 3 10 ': ' ' ' 4 8 3 t xc s c t x cs c ⎧Σ Δ = Δ = Δ =− ⎪ ⎨ ⎪Σ Δ =− Δ = Δ =− ⎩ 可见，在相对论，时间、空间距离、同时性等是相对的，但两事件间隔是绝对的

电动力学讲稿●第六章狭义相对论$3相对论的时空理论一、相对论时空结构讨论某惯性系中的两事件（0，0，0，0）和（x，y，z，1)，其间隔为s?=cf-x2-y2-2?=c2-r2其中r2=x2+y2+2?为两事件的空间距离。以间隔，可以划分为三种情况1）若两事件以光波联系，则s~=0；2）若两事件以低于光速的物理过程联系，则r2<c2t2=s2>03）若两事件的空间距离超过光波在时间1传播的距离，则r2>c2t2=s2<0。由于间隔在从一个惯性系到另一个惯性系的变换中保持不变，这种划分是绝对的。为了建立感性认识，讨论空间是二维的情形（运动局限于xy面内）。设时间轴（取ct）垂直于xy面，这个三维时空中的一点P表示一个事件，该点在xy面上的投影表示事件发生的空间位置（地点)，P点的垂直坐标等于事件发生的时刻乘以c。cts=c2-x?-y=0IP构成一锥面（如图，时间轴与锥面夹角为45°），这个锥体称为光锥。P点可以属于三个不同的区域：y+1）P点在锥面上。总有s2=0，在光锥面上的点（事件）都可x以和O点（事件）用光波联系，这类间隔称为类光间隔。2）P点在光锥内。总有s2>0，即r<ct，P点与O点可用低于光速的物理过程联系，这类间隔称为类时间隔。3）P点在光锥外。总有s?<0，即r>ct，P点与O点不能用光波或低于光速的物理过程联系，这类间隔称为类空间隔。也称P点与O点绝对异地。这种划分是绝对的，不因参照系的变换而变化，即如果在某个惯性参照系中P点（事件）在光锥内，则在任何惯性参照系中仍在光锥内。类时区域分为两部分，由于Lorentz变换保持时间正向（流向）不变（注意（10）式中a22>0)，因此上光锥和下光锥不能相互变换，即若事件P在上光锥内，则在任何惯性系，事件P都将在上光锥内。所以，对于类时间隔，可分为两类：绝对未来，P在上光锥内；绝对过去，P在下光锥内。10

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 10 §3 相对论的时空理论 一、相对论时空结构 讨论某惯性系中的两事件（0，0，0，0）和（x，y，z，t），其间隔为 2 22 2 2 2 22 2 s ct x y z ct r = −−−= − 其中 2 2 22 r xyz =++ 为两事件的空间距离。以间隔，可以划分为三种情况 1） 若两事件以光波联系，则 2 s = 0 ； 2） 若两事件以低于光速的物理过程联系，则 2 22 2 r ct s < ⇒ > 0； 3） 若两事件的空间距离超过光波在时间 t 传播的距离，则 2 22 2 r ct s > ⇒< 0。 由于间隔在从一个惯性系到另一个惯性系的变换中保持不变，这种划分是绝对的。 为了建立感性认识，讨论空间是二维的情形（运动局限于 xy 面内）。设时间轴（取 ct）垂直 于 xy 面，这个三维时空中的一点 P 表示一个事件，该点在 xy 面上的投影表示事件发生的空 间位置（地点），P 点的垂直坐标等于事件发生的时刻乘以 c。 2 22 2 2 s ct x y = −− = 0 构成一锥面（如图，时间轴与锥面夹角为 450 ），这个锥体称为光 锥。P 点可以属于三个不同的区域： 1） P 点在锥面上。总有 2 s = 0 ，在光锥面上的点（事件）都可 以和 O 点（事件）用光波联系，这类间隔称为类光间隔。 2） P 点在光锥内。总有 2 s > 0 ，即 r ct < ，P 点与 O 点可用低 于光速的物理过程联系，这类间隔称为类时间隔。 3） P 点在光锥外。总有 2 s < 0 ，即 r ct > ，P 点与 O 点不能用光波或低于光速的物理过程 联系，这类间隔称为类空间隔。也称 P 点与 O 点绝对异地。 这种划分是绝对的，不因参照系的变换而变化，即如果在某个惯性参照系中 P 点（事 件）在光锥内，则在任何惯性参照系中仍在光锥内。 类时区域分为两部分，由于 Lorentz 变换保持时间正向（流向）不变（注意（10）式中 a22 > 0），因此上光锥和下光锥不能相互变换，即若事件 P 在上光锥内，则在任何惯性系， 事件 P 都将在上光锥内。 所以，对于类时间隔，可分为两类：绝对未来，P 在上光锥内；绝对过去，P 在下光锥 内