新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性微分方程组 §5.3 常系数线性方程组

事条敷线性微分方程组 (5.44)可看作关于c1,c2,的齐次代数方程.(5.44)有非零解的 充分必要条件为 det(λE-A)=0. (5.45) (-入)c,+a2C2++1ncn p c1a21+(22一入)c2+.+2nCn +C22+-+ 即如果足代数方程det(入E-则满促此方程的代入(5.4)，则由 (5.44)可确定非零向量 C 从而p()=5.33)的解.一般地，如果是矩阵把使得关于的方程 组u (元E-)u=0(5.45) 有非零解的称为闺特征值.(5.45)的对应于的非零解称为的对应于 一个特征向量。 结束 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 (5.44)可看作关于 的齐次代数方程.(5.44)有非零解的 充分必要条件为 1 2 , ,., c c cn det( ) 0. E A− = (5.45) 即如果 满足代数方程 则将满足此方程的 代入(5.44),则由 (5.44)可确定非零向量 .  det( ) 0. E A− =  c ( ) t t e c  从而  = 为(5.33)的解.一般地,如果 是 矩阵,把使得关于 的方程 组 A n n u ( ) 0 E A u − = (5.45) 有非零解的 称为 的特征值.(5.45)的对应于 的非零解称为 的对应于 的 一个特征向量.  A  A   −  + + + =   + −  + + =     + + +  − = 即 11 1 12 2 1n n 1 21 22 2 2n n 1 n1 2 n2 nn n ( a )c a c . a c 0 c a ( a )c . a c 0 . c a c a . ( a )c 0 常系数线性微分方程组

常朵教线性撒分方程组 我们知道 det(AE-A)=p(A) 是的次多项式，称为特征多项式 n次代数方程 p(兄)=0 称为的特征方程 p(t)=为533)解的充分必要条件是为 的特征 .为对应于 的特征向量 λ 我们知道，代数方程 p(2的根0 两种情况 ⅰ)单根，称为简单特征根， ⅱ)重根（重），称为重特征根， 有关特征根与特征向量在代数讲过，下面我们看个例子. 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 我们知道 det( ) ( )   E A p − = 是  的 次多项式 n ,称为 的特征多项式 A . n 次代数方程 p( ) 0  = 称为 A 的特征方程. 常系数线性微分方程组 ∴ 为(5.33)解的充分必要条件是 为 的特征根  A . 为对应于 的特征向量. ( ) t t e c   = c  我们知道, 次代数方程 n p( ) 0  的根 = 有两种情况.   = 0 ⅰ）单根， 称为简单特征根. ⅱ）重根（ k 重）, 称为 重特征根 k . 有关特征根与特征向量在代数讲过,下面我们看个例子

常系数线性微分方程组 例3.试求矩阵A=53】 3 的特征值与特征向量 t-=3g=2-6+34=0 3- 解： 特征根为入2=3±5i. 设对应于入=3的特征向量为 则满足 U, (A-兄E)M=0 (a-w→{= 令山1=a(a卡0)为任意常数则u2=ai w-(g)=a(9)a≠0 结束 上一而版下而 目录 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例3. 试求矩阵 A = 3 5 5 3       − 的特征值与特征向量. 解: 2 3 5 det( ) 6 34 0 5 3 A E      − − = = − + = − − 特征根为 . 12 = 3 5i 设对应于 1 = +3 5 的特征向量为 i 1 2 , u u u   =     常系数线性微分方程组 则 u 满足 ( ) 0 A E u − =  1 2 5 5 0 5 5 i u i u   −      =   − −   1 2 1 2 5 5 5 5 iu u u iu  =    = − 令 u1 =  ( 0)  = 为任意常数, 则 u i 2 =  1 , 0 i u i         = = =          ∴

帝朵数线性撒分方程组 令对应于入=3的特征向量为 则(8)= >5iy1=-5y2 解得”=A叫=Bi:=A0 B≠0为常数 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 令对应于 2 = −3 5 的特征向量为 i 1 2 v v v   =     则 1 2 5 5 0 5 5 i v i v       =    −   5 5 1 2 iv v = − 解得 2 1 v v i = =   , ∴ 1 i v    =      = 0 为常数 常系数线性微分方程组

常朵敷线性微分方程组 例2 求 的特征向量。 解 2- det(A-AE)=_1 4-2 =22-62+9=0 .λ=3的二重根 解方程组 24- 得 u=) a卡0为常数， 结束 助了2上一贡返回下页<2目录 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 A = 2 1 1 4       − 例2 求 的特征向量. 解 : 2 2 1 det( ) 6 9 0 1 4 A E      − − = = − + = − − ∴  = 3 为二重根. 解方程组 1 2 2 3 1 0 1 4 3 u u   −      =   − −   得 , 1 1        u =  = 0 为常数. 常系数线性微分方程组