新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性微分方程组 §5.3 常系数线性方程组

常朵数线性微分方程组 下面讨论 x=Ax (5.33) 定理9.矩阵(t)=exp At是(5.33)的基阶矩阵，且满足(0)=E, 证明：(O)=exp0=E. (-(x)+ 12! (k-1): =Aexp At=Ad(t) (在任何有限区间expA致收敛) 这说明（建解矩阵又 detg(0)=det E=1. 因此，p5.33)的基解矩阵. 从而，(5.33)的任一解p(可表为 (t)=(exp At).c 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 下面讨论 ' x Ax = (5.33) 定理9. 矩阵 ( ) exp t At = 是(5.33)的基阶矩阵,且满足 (0) = E . 证明: (0) exp 0 . = = E 2 3 2 1 ' ' ( ) (exp ) . . 1! 2! ( 1)! k k A t A t A t t At A k  − = = + + + + + − = = A At A t exp ( )  (在任何有限区间 exp 一致收敛 At ) 这说明 ( )t 是解矩阵.又 det (0) det 1.  = = E 因此, ( ) 是 t (5.33)的基解矩阵. 从而,(5.33)的任一解 ( )t 可表为 ( ) (exp ). t At c = 常系数线性微分方程组

考条散线性微分方程组 这样看出，(5.33)的求解问题似乎解决了，但我们说ex是4：个无穷级数. 它收敛于什么样的矩阵函数，没有具体给出. 例1设 试求七=的基解矩阵。 解： exp At=E+ 2 t十 2 k! 结束 帮助 目录 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 解: 2 1 1 2 2 2 . exp . . . 2 ! n n a a a t At E t a a             = + + +               1 2 . . ! k k k k n a a t k a     + + +           这样看出,(5.33)的求解问题似乎解决了,但我们说 是一个无穷级数. 它收敛于什么样的矩阵函数,没有具体给出. exp At 例1 设 1 2 . n a a a             A = 试求 的基解矩阵. ' x Ax = 常系数线性微分方程组

常票数线性微分方程组 2 k! 1+02t+.+ a0 十. k! 1+at+.+ (a,t)k k! 十. n 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 . . 2! ! ( ) 1 . . ! . ( ) 1 . . ! k k k n n a t a t a t k a t a t k a t a t k     + + + + + + + + + = + + + +   1 2 . . n a t a t a t e e e     =         常系数线性微分方程组

常朵敷线性微分方程组 例2.试求 x的基解矩阵 解4[66[8小-4+4 eap- 8-88-88 PA00 结束 帮助 2上一贡返下一顶<2目录 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例2. 试求 ' x = 2 1 0 2 x       的基解矩阵. 解: 1 2 2 1 2 0 0 1 0 2 0 2 0 0 A A A       = = + = +             ∵ 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                 = =         ∴ 2 2 2 0 1 1 exp 0 0 1 0 1 t t t e t t At e e      = =           常系数线性微分方程组 1 2 exp exp .exp At A t A t = 2 2 2 2 0 0 1 0 1 . 0 0 0 0 0 2! t t e t E t e           = + + +                  

事条数线性微分方程组 5.3.2基解矩阵的计算公式 三.基解矩阵的计算公式 由定理9知，方程X=的基解矩阵为 exp At=E+At+4't2 十。 2! k! 它虽然是收敛的，但是它的每一元素没有具体表出.下面再进一步讨论©曲At 计算 我们知道 衡的齐次线性方程是有指数函数的形式的解，由此得到启发，我们 设 p(t)=erc,c≠0 (5.43) 代入方程得 几etc=Aerc→er(E入-A)c=0→（入E-A)c=0. 即P()=533)的解的充分必要条件是及要湖足程 (孔E-A)c=0. (5.44) 是方程x=解.为待定的常向量，为待宠常数 结束 帮助 上一页返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 三. 基解矩阵的计算公式 由定理9知,方程 的基解矩阵为 ' x Ax = 2 2 exp . . 2! ! k k A t A t At E At k = + + + + + 它虽然是收敛的,但是它的每一元素没有具体表出.下面再进一步讨论 的 计算. exp At 我们知道 阶的齐次线性方程是有指数函数的形式的解,由此得到启发,我们 设 n ( ) , 0 t t e c c   = = (5.43) 常系数线性微分方程组 5.3.2 基解矩阵的计算公式 ( ) 0 ( ) 0. t t t e c Ae c e E A c E A c       =  − =  − = 代入方程得 即 ( ) 为(5.33)的解的充分必要条件是 及 要满足方程 t t e c   =  c ( ) 0. E A c − = (5.44) 是方程 的解. 为待定的常向量, 为待定常数. ' x Ax = c 