常朵数线性撒分方程组 定理10.如果矩阵具有线性无关的特征向量V1,y22,Vn 对应的特征值为入1，入2，不路不相同)，则矩阵 (t)=,em/v2,., 是(5.33)的基解矩阵. 证：由上面关于特征值和特征向量的讨论知道，每一个向量函数 e2v,(j=1,2,n) 都是(5.33)的一个解.因此，根据5.2.1的定理2雅得矩阵 (t)=[ey1,e2&y2,eyn] 是(5.33)的一个基解矩阵.定理证毕. 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 定理10. 如果矩阵 具有 个线性无关的特征向量 对应的特征值为 (不必各不相同), 则矩阵 A n 1 2 , ,., v v vn 1 2 , ,., n 1 2 1 2 ( ) [ , ,., ] n t t t n t e v e v e v = 是(5.33)的基解矩阵. 证: 由上面关于特征值和特征向量的讨论知道,每一个向量函数 ( 1,2,., ) j t e v j n j = 是(5.33)的一个基解矩阵.定理证毕. 都是(5.33)的一个解.因此,根据5.2.1的定理 2 推得 * 矩阵 1 2 1 2 ( ) , ,., n t t t n t e v e v e v = 常系数线性微分方程组
常朵数线性微分方程组 例4试求方程x=A化， 4[3 的一个基解矩阵， 解：邮两个特征值为入=3+5i,乙2=3-5i 对应的两个线性无关的特征向量为 ( ∴基解矩阵为 -[ 由上面的定理9，定理10知，对于5.33)，exp At(t)=[都是基解矩阵.一般它们 不相等由推论 知，存在非异矩阵，使得×n exp At=(t)c 结束 上一下一顶<2 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 A = 3 5 5 3 − 例4 试求方程 x Ax ' = ， 的一个基解矩阵. 解: 的两个特征值为 A . 1 2 = + = − 3 5 , 3 5 i i 对应的两个线性无关的特征向量为 1 1 v i = 2 1 i v = ∴ 基解矩阵为 (3 5 ) (3 5 ) (3 5 ) (3 5 ) ( ) i t i t i t i t e ie t ie e + − + − = 由上面的定理9,定理10知,对于(5.33), , 都是基解矩阵.一般它们 不相等.由推论 知,存在非奇异 矩阵 ,使得 exp At 1 ( ) [ ,., ] n t = * 2 n n c exp ( ) At t c = 常系数线性微分方程组
常朵教线性撒分方程组 exp0=E, c=(0)=expAt=(t)(0) 如果是实的，则ex也堤实的.所以由(5.47)可得到(5.33)的实的基解矩阵， 例如在上例中， exp At=(t)(0) -2]4-e[m sin 5t cos5t 在代数上讲过这样的定理：对应于不同特征值的特征向量是线 性无关的 所以，如果矩阵有A个不同特征值，则它的基解矩阵由定 理10可得 结束 帮助
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 ∵ ∴ exp 0 , = E 1 c (0) − = 1 exp ( ) (0) At t = − 如果 A 是实的,则 exp 也是实的 At .所以由(5.47)可得到(5.33)的实的基解矩阵， (3 5 ) (3 5 ) 1 6 (3 5 ) (3 5 ) 1 ( ) 2 i t i t t i t i t e ie t e ie e − − − + + − = − 例如在上例中, 1 exp ( ) (0) At t − = (3 5 ) (3 5 ) 3 (3 5 ) (3 5 ) 1 1 cos5 sin5 2 1 sin5 cos5 i t i t t i t i t e ie i t t e ie e i t t + − + − − = = − − 在代数上讲过这样的定理:对应于不同特征值的特征向量是线 性无关的. 所以,如果矩阵 有 个不同特征值,则它的基解矩阵由定 理10 可得 A n 常系数线性微分方程组
常条教线性微分方程组 如果A有重根，则问题就复杂.我们考虑一般情况. 设入1，入2，为2的特征根重数分别为 几1，n2,2nk,h1+n2+.+nk=n, 则对每一个”，线性代数方程组 (A-九，E)"u=0 的解的全体构成维欧氏空间的一个维子空间U,(=1,2组维欧几里得空 间可表为 的接和，U 即对VueV(V为n维欧氏空间)， W=山1+u2+.+uk 4,∈Uj(j=1,2,k). 如果4有线性无关的向量y,y2,则此时 u2=cy.(i=1,2,n) u=Cy1+.+Cnvn 如果只有一个特征向量，即n;,k=1这时不必对空间进行分解. 此时(A一入E)”解的途体构成一个维空(. 结束 帮助 2上一贡返回下一页2 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 这时不必对空间进行分解. 如果 A 有重根,则问题就复杂.我们考虑一般情况. 1 2 , . , 设 1 2 为 的特征根.重数分别为 n n n n + + + =k , ,., k A 1 2 , ,., n n nk 则对每一个 nj ,线性代数方程组 ( ) 0 nj A E u − = j 1 2 . u u u u = + + + k 即对 u V V n ( 为 维欧氏空间）， .( 1,2,., ). u U j k j j = 如果 A 有 n 个线性无关的向量 , 则此时 1 2 , ,., n v v v 1 1 . u c v c v = + + n n .( 1,2,., ) u c v i n i i i = = 如果 A 只有一个特征向量,即 n n j = , k = 1 ( ) 0 n 此时 A E u − = 解的全体构成一个 维空间n. 常系数线性微分方程组 的解的全体构成 维欧氏空间的一个 维子空间 . 且维欧几里得空 间可表为 的直接和. n nj ( 1, 2, ., ) U j k j = U ,U , . ,U 1 2 k