考研数学历年真题：1992考研数一真题及解析

跨煮教育KUAKAOFDUICATIOIBorn towin1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.）(1) 设函数y=(t)由方程e*+cos(s)=0 确定,则类dx(2）函数u=ln(x2+y2+z)在点M(1,2,-2)处的梯度gradul=-1-元<X≤0,则其以2元为周期的傅里叶级数在点x=元处收敛于(3)设f(x)=1+x,0<X≤元,（4）微分方程y+ytanx=cosx的通解为y(a,b)ab...ab.a,bab, ab.(5)设A=其中a,+0,b,±0,i=1,2n.则矩阵A的秩:.:(a,b)ab....a,b.r(A)=二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）x?-1(1）当x1时,函数一的极限()x-1(B)等于0(C) 为80(A）等于2(D）不存在但不为0(2) 级数(-1)(1-cos~) (常数α>0)C）n=(A）发散(B）条件收敛(C）绝对收敛(D)收敛性与α有关(3）在曲线x=t,y=-t,z=t的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线)((B）只有2条(D）不存在(A）只有1条(C）至少有3条((4）设f(x)=3x+x2|x|,则使f"(O)存在的最高阶数n为)(A) 0(B) 1(D) 3(C) 2

Born to win 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数 y y x = ( ) 由方程 cos( ) 0 x y e xy + + = 确定,则 dy dx = _. (2) 函数 2 2 2 u x y z = + + ln( ) 在点 M (1,2, 2) − 处的梯度 M gradu = _. (3) 设 2 1, < 0, ( ) 1 , 0< , x f x x x   − −  =   +  则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x = 处收敛于 _. (4) 微分方程 y y x x  + = tan cos 的通解为 y = _. (5) 设 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b       =       ,其中 0, 0, 1,2 . i i a b i n   = 则矩阵 A 的秩 r A( ) = _. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当 x →1 时,函数 2 1 1 1 1 x x e x − − − 的极限 ( ) (A) 等于 2 (B) 等于 0 (C) 为  (D) 不存在但不为  (2) 级数 1 ( 1) (1 cos ) n n n   =  − − (常数   0 ) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与  有关 (3) 在曲线 2 3 x t y t z t = = − = , , 的所有切线中,与平面 x y z + + = 2 4 平行的切线 ( ) (A) 只有 1 条 (B) 只有 2 条 (C) 至少有 3 条 (D) 不存在 (4) 设 3 2 f x x x x ( ) 3 | | = + ,则使 (0) n f 存在的最高阶数 n 为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

凶跨煮教育DCATCABorn to win[1]0(5）要使5=0,52=都是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为1([2]-120-1(A) (-2 1 1)(B)011(O1-1-102X(C)(D)2201011三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分.）e*-sinx-1(1)求lim1-/i-x2+a°z(2）设z=f(esiny,x2+y),其中f具有二阶连续偏导数，求axoy[1+x2,x≤0,f(x-2)dx(3)设(x)=求x>0,e-r四、（本题满分6分.）求微分方程y"+2y-3y=e-3的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分[[(x+az)dydz+(y+ax)dzdx+(+ay)dxdy，其中为上半球面z=a?-x-y的上侧六、(本题满分7分)设f"(x)<0，f(0)=0,证明对任何>0,>0,有f(+)<f()+f(x)七、（本题满分8分)在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面x+?=1上第一卦限的点M(,n,)，问当n,取何值时，力F所做的功W最ab?大?并求出W的最大值

Born to win (5) 要使 1 2 1 0 0 , 1 2 1           = =             − 都是线性方程组 Ax = 0 的解,只要系数矩阵 A 为 ( ) (A) (−2 1 1) (B) 2 0 1 0 1 1   −     (C) 1 0 2 0 1 1   −     − (D) 0 1 1 422 0 1 1   −   − −       三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.) (1) 求 0 2 sin 1 lim 1 1 x x e x x → − − − − . (2) 设 2 2 ( sin , ) x z f e y x y = + ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z x y    . (3) 设 2 1 , 0, ( ) , >0, x x x f x e x −  +  =   求 3 1 f x dx ( 2) −  . 四、(本题满分 6 分.) 求微分方程 3 2 3 x y y y e −   + − = 的通解. 五、(本题满分 8 分) 计算曲面积分 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) ( ) x az dydz y ax dzdx z ay dxdy  + + + + +  ,其中  为上半球 面 2 2 2 z a x y = − − 的上侧. 六、(本题满分 7 分) 设 f x ( ) 0  , f (0) 0 = ,证明对任何 1 2 x x   0, 0 ,有 1 2 1 2 f x x f x f x ( ) ( ) ( ) +  + . 七、(本题满分 8 分) 在变力 F yz zx xy = + + i j k 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 上第一卦限的点 M ( , , )    ,问当    , , 取何值时,力 F 所做的功 W 最 大?并求出 W 的最大值

跨考教育XKUAKAOEDUCATIORBorntowin八、(本题满分7分)设向量组α、α2、α,线性相关,向量组α、αα,线性无关,间：(1）α,能否由α、α,线性表出？证明你的结论(2）α能否由α、αz、α,线性表出？证明你的结论。九、(本题满分7分)设3阶矩阵A的特征值为2=12=2.2=3,对应的特征向量依次为[1][1][123又向量β=25 =1.553[9][3][4][i](1）将β用与,52,5,线性表出.(2）求Aβ（n为自然数）十、填空题（本题满分6分，每小题3分.）, P(AB)=0,P(AC)= P(BC)=则事件A、B、(1) 已知 P(A)=P(B)=P(C)=X16C全不发生的概率为(2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X+e-2X）=十一、(本题满分 6分)设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N(u,α2)，Y服从[-元,元]上的均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数(x)表示，其中2e 2dt)g(x)=V2元

Born to win 八、(本题满分 7 分) 设向量组    1 2 3 、 、 线性相关,向量组    234 、 、 线性无关,问： (1) 1 能否由   2 3 、 线性表出？证明你的结论. (2) 4 能否由    1 2 3 、 、 线性表出？证明你的结论. 九、(本题满分 7 分) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3    = = = 1, 2, 3,对应的特征向量依次为 1 2 3 1 1 1 1 , 2 , 3 1 4 9                = = =                   ,又向量 1 2 3      =       , (1) 将  用 1 2 3    , , 线性表出. (2) 求 n A  ( n 为自然数). 十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.) (1) 已知 1 ( ) ( ) ( ) 4 P A P B P C = = = , P AB ( ) 0 = , 1 ( ) ( ) 16 P AC P BC = = ,则事件 A 、 B 、 C 全不发生的概率为_. (2) 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 2 ( ) X E X e− + = _. 十一、(本题满分 6 分) 设随机变量 X 与 Y 独立, X 服从正态分布 2 N( , )   ,Y 服从 [ , ] −  上的均匀分布,试 求 Z X Y = + 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 ( ) x 表示,其中 2 2 1 ( ) 2 t x  x e dt  − − =  )

凶跨煮教育DUCATIOIKUAKABorntowin1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）er+y -ysin(xy)(1）【答案】e+y -xsin(xy)【解析】函数y=(x)是一个隐函数，即它是由一个方程确定，写不出具体的解析式。方程两边对x求导，将y看做x的函数，得e*+(1+y)+sin(xy)(xy+y)=0.解出y"，即=y=-e"-ysin(m)dxe*+y-xsin(xy)【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果u=g(x)在点x可导，而y=f(x)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为dydy_dydu=f(u)·g(x)或dxdxdu dx2.两函数乘积的求导公式：[f(x)·g(x)) = f'(x)·g(x)+ f(x)·g'(x)(2）【答案】(1,2, -2)9【解析】对函数u求各个分量的偏导数，有2xQu2youou2zaxx+y+2oyx?+y +22zx+y+2?由函数的梯度（向量）的定义，有Jou Ou ou]1gradu=+y*+2 (2x,2y,2=),[ax"ay'az ]1(1, 2, -2)所以gradl/ =P+2++(-2) (2.4 -4) 【相关知识点】复合函数求导法则：如果u=g(x)在点x可导,而y=f(x)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)在点x可导，且其导数为dy_dy.du= f(u)·g(x)或dxdxdu dx1(3）【答案】P

Born to win 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 sin( ) sin( ) x y x y e y xy e x xy + + − − − 【解析】函数 y y x = ( ) 是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对 x 求导,将 y 看做 x 的函数,得 (1 ) sin( )( ) 0 x y e y xy xy y + + + + =   .解出 y  ,即 sin( ) sin( ) x y x y dy e y xy y dx e x xy + + − = = −  − . 【相关知识点】1.复合函数求导法则： 如果 u g x = ( ) 在点 x 可导,而 y f x = ( ) 在点 u g x = ( ) 可导,则复合函数 y f g x =  ( ) 在点 x 可导,且其导数为 ( ) ( ) dy f u g x dx =    或 dy dy du dx du dx =  . 2.两函数乘积的求导公式：  f x g x f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    =  +    . (2)【答案】   2 1, 2, 2 9 − 【解析】对函数 u 求各个分量的偏导数,有 2 2 2 u x2 x x y z  =  + + ； 2 2 2 u y 2 y x y z  =  + + ； 2 2 2 u z 2 z x y z  =  + + . 由函数的梯度(向量)的定义,有 2 2 2   1 , , 2 ,2 ,2 uuu gradu x y z x y z x y z    = =        + + , 所以 2 2 2     1 2 2,4, 4 1,2, 2 1 2 ( 2) 9 M gradu = − = − + + − . 【相关知识点】复合函数求导法则： 如果 u g x = ( ) 在点 x 可导,而 y f x = ( ) 在点 u g x = ( ) 可导,则复合函数 y f g x =  ( ) 在点 x 可导,且其导数为 ( ) ( ) dy f u g x dx =    或 dy dy du dx du dx =  . (3)【答案】 1 2 2 

跨煮教育KUAKAOEDUCATIORBorntowin【解析】X=元是[一元，元]区间的端点，由收敛性定理一狄利克雷充分条件知，该傅氏级数在x=元处收敛于[(-元+0)+(元-0)]=[-1+1+元21【相关知识点】收敛性定理一狄利克雷充分条件：函数f(x)在区间[-1,]上满足：（i）连续，或只有有限个第一类间断点；（ii）只有有限个极值点.则f(x)在[-1,1]上的傅里叶级数收敛，而且鲁+Z(a, cosx+b,sinx211n=1f(x),若xe(-l,I)为f(x)的连续点,[f(x+0)+f(x-0)]，若xE(-1,I)为f(x)的第一类间断点，[(- +0)+ F(I-0)],若x=±（4）【答案】y=xcosx+CcosxC为任意常数1tanxdt【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程，由于e方程两边同乘[cos.x]1，得cos.x积分/V=x+CcosxcOsx故通解为y=xcosx+Ccosx,C为任意常数.(5）【答案】1【解析】因为矩阵A中任何两行都成比例(第1行与第j行的比为），所以A中的二阶a,子式全为0,又因a,±0,b,±0,知道αb±0，A中有一阶子式非零.故r(A)=1.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零时，则此矩阵的秩为r

Born to win 【解析】 x = 是 [ , ] −  区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在 x = 处收敛于 1 1 1 2 2 [ ( 0) ( 0)] [ 1 1 ] 2 2 2 f f − + + − = − + + =     . 【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件： 函数 f x( ) 在区间 [ , ] −l l 上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有 限个极值点.则 f x( ) 在 [ , ] −l l 上的傅里叶级数收敛,而且 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a n n a x b x l l    = + +      ( ), ( , ) ( ) 1 ( 0) ( 0) , ( , ) ( ) 2 1 ( 0) ( 0) , . 2 f x x l l f x f x f x x l l f x f l f l x l    −   = + + −  −    − + + − =    若 为 的连续点, 若 为 的第一类间断点, 若 (4)【答案】 y x x C x C = + cos cos , 为任意常数 【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于 tan 1 | cos | xdx e x  = ,方程两边同乘 1 cos x ,得 1 1 1 cos cos y y x C x x      =  = +   积分 . 故通解为 y x x C x C = + cos cos , 为任意常数. (5)【答案】1 【解析】因为矩阵 A 中任何两行都成比例(第 i 行与第 j 行的比为 i j a a ),所以 A 中的二阶 子式全为 0,又因 0, 0 i i a b   ,知道 1 1 ab  0 , A 中有一阶子式非零.故 r A( ) 1 = . 【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在 r 阶子式不为零,而所有的 r +1 阶子式全为 零时,则此矩阵的秩为 r