考研数学历年真题：1999考研数一真题及解析

区跨考教育KLIAKAOEDUCATIOBornto win1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。）11(1) limxtanx["'sin(x-1)'dt =(2) :dxJo(3）y"_4y=e2x的通解为y=（4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是(5）设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件：9P(AUBUC):ABC =Φ, P(A)= P(B)= P(C)<16则 P(A)=二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。）(1)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则（）(A）当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。(B）当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。(C）当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。(D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数。1-cosx,x>0Vx(2)设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处（x"g(x),x≤0(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导10≤x≤x,12,S(x)=+(3) 设f(x)=>a.cosn元x.-00<x<+0其中12n=l2x.<x<125f(x)cosnxdx,(n=0,1,2,..),则 s等于（1=133A(D)-(B)-204(4)设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则(B)当m>n时，必有行列式AB=0(A)当m>n时，必有行列式|AB+0(D)当n>m时，必有行列式|AB=0(C)当n>m时，必有行列式AB*0(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（O.1）和N（1,1），则1

Born to win 1 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。) (1) 2 0 1 1 lim x→ x x x tan     − =   (2) 2 0 sin( ) d x x t dt dx − =  (3) 2 " 4 x y y e − = 的通解为 y = (4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的 n 个特征值是 (5) 设两两相互独立的三事件A, B 和C 满足条件： 1 , ( ) ( ) ( ) , 2 ABC P A P B P C = = =   9 ( ) , 16 P A B C   = 则 P A( ) = 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符 合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1)设 f x( ) 是连续函数， F x( ) 是 f x( ) 的原函数，则 ( ) (A) 当 f x( ) 是奇函数时， F x( ) 必是偶函数。 (B) 当 f x( ) 是偶函数时， F x( ) 必是奇函数。 (C) 当 f x( ) 是周期函数时， F x( ) 必是周期函数。 (D) 当 f x( ) 是单调增函数时， F x( ) 必是单调增函数。 (2)设 2 1 cos , 0 ( ) ( ), 0 x x f x x x g x x  −   =     其中 g x( ) 是有界函数，则 f x( ) 在 x = 0 处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导 (3) 设 0 1 1 , 0 2 ( ) , ( ) cos , , 1 2 2 2 , 1 2 n n x x a f x S x a n x x x x   =     = = + −   +    −     其中 1 0 2 ( )cos ,( 0,1,2, ), n a f x n xdx n = =    则 5 2 S     −   等于 ( ) (A) 1 2 (B) 1 2 − (C) 3 4 (D) 3 4 − (4)设A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则 (A)当 m n  时，必有行列式 AB 0  (B)当 m n  时，必有行列式 AB 0 = (C)当 n m 时，必有行列式 AB 0  (D)当 n m 时，必有行列式 AB 0 = (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1) 和N (1,1) ，则

凶跨煮教育IVABornto win(A) PX+Y≤0)=(B) P(X+Y≤1) =(C) P(X-Y≤0)= (D) P(X-Y≤1)=2C三、（本题满分5分）设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f 和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求兰dr四、（本题满分5分）求[=[(e'siny-b(x+y))dx+(ecosy-ax)dy,其中a,b为正常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y=/2ax-x到点O(0,0)的弧五、(本题满分6分)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y(x)>0，y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,Jy)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S,，区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S，并设2S,-S,恒为1，求此曲线y=y(x)的方程六、（本题满分6分）试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2七、（本题满分6分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深30m30m抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s，在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?（说明：①1N×1m=1J；其中m,N,s,J分别表示米，牛顿，秒，焦耳：②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)八、(本题满分7分)x2V-+22=1的上半部分，点P(x,J,=)ES,元为S在点P处的切平面，设S为椭球面2+2Zp(x,y,2)为点O(0,0,0)到平面元的距离，求[dss p(x,y,2)九、(本题满分7分)tan"xdx.设a2

Born to win 2 (A)   1 0 . 2 P X Y+  = (B)   1 P X+Y 1 . 2  = (C)   1 P X-Y 0 . 2  = (D)   1 P X-Y 1 . 2  = 三、(本题满分5分) 设 y y x = ( )， z z x = ( ) 是由方程 z xf x y = + ( ) 和 F x y z ( , , ) =0所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 dz dx 。 四、(本题满分5分) 求 ( sin ( ) cos , ) ( ) x x L I e y b x y dx e y ax dy = − + + −  其中a,b 为正常数， L 为从点A (2a,0) 沿曲线 2 y= 2 - ax x 到点O (0,0) 的弧. 五、 (本题满分6分) 设函数 y x x ( )(  0) 二阶可导，且 y x ( )  0 ， y(0 1 ) = . 过曲线 y y x = ( ) 上任意一点 P x y ( , ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 1 S ，区 间 0, x 上以 y y x = ( ) 为曲边的曲边梯形面积记为 2 S ，并设 1 2 2S S − 恒为 1，求 此曲线 y y x = ( ) 的方程 六、(本题满分6分) 试证：当 x  0 时， ( ) ( ) 2 2 x x x −  − 1 ln 1 . 七、(本题满分6分) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深 30m 30m,抓斗自重 400N , 缆绳每米重 50N ，抓斗抓 起的污泥重 2000N ，提升速度为 3 / m s,在提升过程中，污泥以 20 / N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：① 1 1 1 ; N m J  = 其中 m N s J , , , 分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.) 八、(本题满分7分) 设S 为椭球面 2 2 2 1 2 2 x y + + = z 的上半部分，点P ( , , ) x y z ∈S,π为S 在点P 处的切平面， ( , , ) x y z 为点O (0,0,0) 到平面π的距离，求 . ( , , ) S z dS  x y z  九、(本题满分7分) 设 4 0 tan , n n a xdx  = 

跨煮教育Bornto win(1)求(a,+a2)的值；in(2) 试证：对任意的常数)>0, 级数≥%收敛n=in十、(本题满分8分)aC56设矩阵A=3其行列式A=-1,又A的伴随矩阵A有一个特征值，属1-c0-a于的一个特征向量为α=(-1,-1,1),求a,b,c和的值十一、（本题满分6分）设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mxn实矩阵，BI为B的转置矩阵，试证：BAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n十二、（本题满分8分）设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（XY）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处Yyiy2y3P(X =x)=Pix1-8X1-8X211P(Y=y)=p)16十三、（本题满分6分）设总体X的概率密度为6x),0<x<6Hf(x):其他0.X,X,X是取自总体X的简单随机样本(1）求的矩估计量0(2)求θ的方差D(e)1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析3

Born to win 3 (1) 求 ( 2 ) 1 1 n n n a a n  + =  + 的值； (2) 试证：对任意的常数λ>0,. 级数 1 n n a n   =  收敛 十、(本题满分8分) 设矩阵 1 5 3 , 1 0 a c A b c a   −   =       − − 其行列式 A =−1, 又A 的伴随矩阵 * A 有一个特征值 0 ，属 于 0 的一个特征向量为 ( 1, 1,1) , T  = − − 求 abc , , 和 0 的值. 十一、(本题满分6分) 设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵， T B 为B的转置矩阵，试证： T B AB 为正 定矩阵的充分必要条件是B的秩 r B n ( ) = . 十二、(本题满分8分) 设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 (X,Y) 联合分布律及关于X 和关 于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处. Y X 1 y 2 y 3 y P X x p  = = i i  1 x 1 8 2 x 1 8 P Y y p  = = j j  1 6 1 十三、(本题满分6分) 设总体X 的概率密度为 3 6 ( ),0 ( ) 0, x x x f x      −   =    其他 1 2 , , , X X X n  是取自总体X 的简单随机样本. (1) 求θ的矩估计量  (2) 求  的方差 D( ). 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

跨考教育XKUAKAOCATBornto win一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.）1(")【答案】3【分析】利用x一→0的等价变换和洛必达法则求函数极限【详解】11tanx-xtanx-x方法1：limxlimimtanx~43xxtanxx-0xtanxx-→0+Sec2x-12tanx1洛lim= limxlimtanx3x23x2+-03x23x>0x-→01cos.xsinx-xcosx方法2：limlimlimx"sinxxsinxx-→0Axtanxxsinx_1sinx-xcosxcosx-cosx+xsinx洛limlimsinx~xlimx33x23x3x-0X-0x-→0(2)【答案】sinx2d【分析】欲求p(x,t)dt，唯一的办法是作变换，使含有p(x,t)中的x"转移"到p之外dx【详解】令u=x-t，则dt=-du，所以有" sin(x-1)’d =兴(-sin u )u=[[' sin u’du = sin x?Jr(3)【答案】 y=C,e-2*+C,+x ee2,其中C,C,为任意常数4【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解【详解】原方程对应齐次方程"-4y=0的特征方程为：2-4=0.解得=2.=-2，故y"-4y=0的通解为y=Ce-2x+C,e2由于非齐次项为f(x)=e2*因此原方程的特解可设为y=Axe2x，代入原方程可求得1故所求通解为y=+=C,e-2+ICa+1A=4(4)【详解】因为

Born to win 4 一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.) (1)【答案】 1 . 3 【分析】利用 x →0 的等价变换和洛必达法则求函数极限. 【详解】 方法1： 2 2 3 0 0 0 1 1 tan tan lim lim tan lim x x x tan tan x x x x x x → → → x x x x x x   − −   − =   2 2 0 sec 1 lim x 3 x → x − 洛 2 2 0 tan lim x 3 x → x = 2 2 0 1 tan lim x 3 3 x x x → x = 方法2： 2 2 2 0 0 0 1 1 1 cos sin cos lim lim lim x x x tan sin sin x x x x → → → x x x x x x x x     −     − = − =     3 2 0 0 sin cos cos cos sin sin lim lim x x 3 x x x x x x x x x → → x x − − + 洛 0 sin 1 lim x 3 3 x → x = = (2)【答案】 2 sin x 【分析】欲求 ( , ) b a d x t dt dx  ，唯一的办法是作变换，使含有 ( , ) x t 中的 x “转移”到  之外 【详解】令 u x t = − ，则 dt du =− ，所以有 ( ) 0 2 2 0 sin( ) sin x x d d x t dt u du dx dx − = −   2 2 0 sin sin d x u du x dx = =  (3)【答案】 2 2 1 2 1 , 4 x x y C e C x e −   = + +     其中 1 2 C C, 为任意常数. 【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解. 【详解】原方程对应齐次方程 y y " 4 0 − = 的特征方程为： 2  − = 4 0, 解得 1 2   = = − 2, 2，故 y y " 4 0 − = 的通解为 2 2 1 1 2 , x x y C e C e − = + 由于非齐次项为 2 ( ) , x f x e = 因此原方程的特解可设为 * 2 , x y Axe = 代入原方程可求得 1 4 A = ，故所求通解为 * 2 2 1 1 2 1 4 x x y y y C e C x e −   = + = + +     (4)【详解】因为

区跨考教育KUAKAOBorn to win(α-1-1++.1-1--1TE-A=(对应元素相减）-1-1元-1t两边取行列式，1-1-1[a-n-1-1-11-1把第2，n列2-1-1-1nAE-A加到第1列..-1-11-1-1-1Λ-n-1[2行-1行1-11-1提取第1列1011-13行-1行-1L的公因子1-10202.-n行-1行= a"l(a-n)令E-A="(-n)=0，得=n(1重)，=0(n-1)重)，故矩阵A的n个特征值是n和0((n-1)重)(5)【答案】1/4【详解】根据加法公式有P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AC)- P(AB)- P(BC)+P(ABC)因为 P(A)=P(B)=P(C),设 P(A)= P(B)= P(C)= p由于A,B,C两两相互独立，所以有P(AB)= P(A)P(B)= px p= p,P(AC)= P(A)P(C)= p× p= p,P(BC)= P(B)P(C)= p× p= p,又由于 ABC=①,因此有 P(ABC)=P(O)=0,所以P(AUBUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AC)-P(AB)-P(BC)+ P(ABC)=p+p+p-p?-p2-p?+0=3p-3p299则有3p-3p°_从而 P(AUBUC)=3p-3p*= P(AUBUC)==016161632或p=1=0，解得=pP-n-16445

Born to win 5 E A− 1 1 . 1 1 1 . 1 . . . . 1 1 . 1      − − −   − − −   =       − − − (对应元素相减) 两边取行列式， 1 1 . 1 1 1 . 1 . . . . 1 1 . 1 E A     − − − − − − − = − − − 1 . 1 2 1 . 1 1 . . . . 1 . 1 n n n n      − − −  − − − − − − 把第 ， ， 列 加到第 列 1 1 . 1 1 1 1 . 1 ( ) . . . . 1 1 . 1 n    − − − − − − − 提取第 列 的公因子 2 1 1 1 . 1 3 1 0 . 0 ( ) . . . . 1 0 0 . n n    − − − − − − 行 行 行 行 行 行 -1( ) n = −   n 令 -1( ) 0 n    E A n − = − = ，得 1 2   = = − n n (1 0(( 1) 重)， 重) ，故矩阵A的n个特征值 是n和0( ( -1) n 重) (5)【答案】 14 【详解】根据加法公式有 P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − + 因为 P A P B P C ( ) ( ) ( ) = = ，设 P A P B P C p ( ) ( ) ( ) = = = 由于 A B C , , 两两相互独立，所以有 2 P AB P A P B p p p ( ) ( ) ( ) = =  = ， 2 P AC P A P C p p p ( ) ( ) ( ) = =  = ， 2 P BC P B P C p p p ( ) ( ) ( ) = =  = ， 又由于 ABC = ，因此有 P ABC P ( ) ( ) 0, =  = 所以 P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − + 222 = + + − − − + p p p p p p 0 2 = − 3 3 p p 又 9 ( ) 16 P A B C = ，从而 2 9 ( ) 3 3 16 P A B C p p = − = ，则有 2 9 3 3 0 16 p p − − = 2 3 0 16  − + = p p ，解得 3 1 4 4 p = = 或p