2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）dx(1)xlnx=(2)已知e'+6xy+x2-1=0，则(0)=(3)yy"+y"2=0满足初始条件y(0)=1,y(0)=！的特解是(4)已知实二次型f(x,x2,x)=a(x+x+x)+4xx2+4xx+4x2x，经正交变换可化为标准型f=6y，则a=(5)设随机变量X~N(μ,α2），且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5,则?二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)考虑二元函数f(x,y）的四条性质：①f(x,J)在点(xo,yo）处连续，②f(x,y)在点(xo,y)处的一阶偏导数连续,③f(x,y)在点(xo,J）处可微，④(x,)在点(xo,）处的一阶偏导数存在则有:(A) @- @- 0(B)@- @- 0(C)@- ④-(D)@- - ④(2)设u,*0,且im≥=1,则级数(-1)*(一+一)为(A) 发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定(3)设函数f(x)在R*上有界且可导,则(A)当limf(x)=0 时，必有limf(x)=0(B）当lim(x）存在时，必有limf(x)=0
2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) = _. (2)已知 ,则 =_. (3) 满足初始条件 的特解是_. (4)已知实二次型 经正交变换可化为 标准型 ,则 =_. (5)设随机变量 ,且二次方程 无实根的概率为 0.5,则 =_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数 的四条性质: ① 在点 处连续, ② 在点 处的一阶偏导数连续, ③ 在点 处可微, ④ 在点 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)② ③ ① (B)③ ② ① (C)③ ④ ① (D)③ ① ④ (2)设 ,且 ,则级数 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数 在 上有界且可导,则 (A)当 时,必有 (B)当 存在时,必有 + e x x dx 2 ln 2 e 6 1 0 y + + − = xy x y (0) 0 2 yy + y = 1 (0) 1, (0) 2 y y = = 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = a(x1 + x + x ) + 4x x + 4x x + 4x x 2 6 1 f = y a ~ ( , ) 2 X N 4 0 2 y + y + X = f (x, y) f (x, y) ( , ) 0 0 x y f (x, y) ( , ) 0 0 x y f (x, y) ( , ) 0 0 x y f (x, y) ( , ) 0 0 x y 0 n u lim = 1 → n n u n ) 1 1 ( 1) ( 1 1 + + − + n n n u u f (x) + R lim ( ) = 0 →+ f x x lim ( ) = 0 →+ f x x lim f (x) x →+ lim ( ) = 0 →+ f x x
(C）当lim f(x)=0时,必有lim(x)=0(D）当lim(x)存在时,必有 lim(x)=0,(4)设有三张不同平面，其方程为a,x+b,y+c,z=d,（=1,2,3）它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为中区区(5)设和y是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为fx(x)和f,()，分布函数分别为Fx(x）和F,()，则(B）fx(x)fr()必为密度函数(A)fx(α）+f,(y)必为密度函数(C)Fx(x)+F,(y)必为某一随机变量的分布函数(D）Fr(x)F,(y)必为某一随机变量的分布函数三、（本题满分6分）设函数f(x)在x=0的某邻域具有一阶连续导数，且f(O)F(O)±0，当h→0时，若af(h)+bf(2h)-f(0)=o(h)，试求a,b的值.四、（本题满分7分）已知两曲线y=f(α)与y=[arcan*e-dt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限limnf(2) .五、（本题满分7分）计算二重积分[femax(dxdy,其中D=((x,y)10≤x≤1,0≤y≤1).六、（本题满分8分）设函数f(x)在R上具有一阶连续导数，L是上半平面（，>O)内的有向分段光滑曲线起点为(a,b），终点为,d）
(C) 当 时,必有 (D) 当 存在时,必有 . (4)设有三张不同平面,其方程为 ( )它们所组成的线性方程 组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设 和 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为 和 , 分布函数分别为 和 ,则 (A) ＋ 必为密度函数 (B) 必为密度函数 (C) ＋ 必为某一随机变量的分布函数 (D) 必为某一随机变量 的分布函数. 三、(本题满分 6 分) 设函数 在 的某邻域具有一阶连续导数,且 ,当 时,若 ,试求 的值. 四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 与 在点 处的切线相同.求此切线的方程,并求 极限 . 五、(本题满分 7 分) 计算二重积分 ,其中 . 六、(本题满分 8 分) 设函数 在 上具有一阶连续导数, 是上半平面( >0)内的有向分段光滑曲线, 起点为( ),终点为( ). lim ( ) 0 0 = → + f x x lim ( ) 0 0 = → + f x x lim ( ) 0 f x x → + lim ( ) 0 0 = → + f x x i i i di a x + b y + c z = i = 1,2,3 X Y f (x) X f ( y) Y F (x) X F ( y) Y f (x) X f ( y) Y f (x) X f ( y) Y F (x) X F ( y) Y F (x) X F ( y) Y f (x) x = 0 f (0) f (0) 0 h → 0 af (h) + bf (2h) − f (0) = o(h) a,b y = f (x) arctan 2 0 e x t y dt − = (0, 0) ) 2 lim ( n nf n→ 2 2 max{ , } e x y D dxdy D = {(x, y) | 0 x 1,0 y 1} f (x) R L y a,b c,d
记=+()]dx+()-1dy，y（1）证明曲线积分与路径无关(2)当ab=cd时,求的值七、（本题满分7分）(1)验证函数(c)=之（<x<+α）满足微分方程y+y+y=e°.H=0 (3n)!(2)求幂级数y(x)=！的和函数=0 (3n)!八、（本题满分7分）设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy面，其底部所占的区域为D=((x,y)/x2 +y2-xy≤75)，小山的高度函数为h(x,J)=75-x2-y2+xy(1)设M(xo,y)为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(xo,y），写出g(xo,yo）的表达式(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,J)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置，九、（本题满分6分）已知四阶方阵A=(a,α2,s,a)，a,z,,a,均为四维列向量,其中az,,a,线性无关a,=2a,-3.若β=,+az+a,+a4，求线性方程组Ax=β的通解十、（本题满分8分）设A,B为同阶方阵，(1)若A,B相似，证明A,B的特征多项式相等
记 , (1)证明曲线积分 与路径 无关. (2)当 时,求 的值. 七、(本题满分 7 分) (1)验证函数 ( )满足微分方程 . (2)求幂级数 的和函数. 八、(本题满分 7 分) 设有一小山 , 取它的底面所在的平面为 面 , 其底部所占的区域为 ,小山的高度函数为 . (1)设 为区域 上一点,问 在该点沿平面上何方向的方向导数最大? 若此方向的方向导数为 ,写出 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为 攀登的起点.也就是说要在 的边界线上找出使(1)中 达到最大值的点.试确定 攀登起点的位置. 九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵 , 均为四维列向量,其中 线性无关, .若 ,求线性方程组 的通解. 十、(本题满分 8 分) 设 为同阶方阵, (1)若 相似,证明 的特征多项式相等. y f xy d y y x y f xy d x y I [1 ( )] [ ( ) 1] 1 2 2 2 = + + − I L ab = cd I = = 0 3 (3 )! ( ) n n n x y x − x + e x y y y + + = = = 0 3 (3 )! ( ) n n n x y x xoy {( , ) | 75} 2 2 D = x y x + y − xy h(x, y) = − x − y + xy 2 2 75 ( , ) 0 0 M x y D h(x, y) ( , ) 0 0 g x y ( , ) 0 0 g x y D g(x, y) 1 2 3 4 A = ( , , , ) α α α α 1 2 3 4 α , , , α α α 234 α , , α α 1 2 3 α = − 2α α β = + + + α1 2 3 4 α α α Ax = β AB, AB, AB
(2)举一个二阶方阵的例子说明（1)的逆命题不成立(3）当A,B为实对称矩阵时，证明（1)的逆命题成立
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. AB
十一、（本题满分7分）设维随机变量x的概率密度为1Scost0≤x≤x对x独立地重复观察4次，用表示观察f(x)=0其它值大于”的次数，求y2的数学期望十二、（本题满分7分）设总体的概率分布为X012302P20(1-0)021-20其中（0<9<）是未知参数，利用总体x的如下样本值3, 1, 3,0,3,1,2, 3.求?的矩估计和最大似然估计值，5
5 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 的概率密度为 对 独立地重复观察 4 次,用 表示观察 值大于 的次数,求 的数学期望. 十二、(本题满分 7 分) 设总体 的概率分布为 0 1 2 3 其 中 ( ) 是未知参数 , 利用总体 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3. 求 的矩估计和最大似然估计值. X f x( ) = 1 cos 0 2 2 0 x x x 其它 X Y 3 2 Y X XP 2 2 (1− ) 2 1− 2 1 0 2 X