凶跨煮教育KUAKAODUCATIOIBornto win1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题满分15分，每小题3分.）[x=1+t,d'y(1)设dxy=cost,(2）由方程xyz+x+y2+2=2所确定的函数z=2(x,J)在点(1,0,-1)处的全微分dz=J-2z-3x+2x-1y-1Z(3）已知两条直线的方程是L，则过L且平0-1211行于L，的平面方程是（4）已知当x→0时，（1+ax）-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=5200)0210则A的逆阵A-1=(5）设4阶方阵A：200110０1二、选择题（本题满分15分，每小题3分.）1+e-r(1）曲线y=1-e-r（A）没有渐近线(B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线(D）既有水平渐近线又有铅直渐近线(2）若连续函数f(x)满足关系式f(x)=dt+ln2，则f(x)等于（)(A) e"In2(B)e2 In2(C) e+In2(D) e2* +In2?(3）已知级数(-1)"-la,=5,则级数a,等于=2(a2n-1.21=1n=l7=1(B) 7(C) 8(D) 9(A) 3(4）设D是xOy平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D是D在第一象
Born to win 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1) 设 2 1 , cos , x t y t = + = 则 2 2 d y dx =_. (2) 由方程 2 2 2 xyz x y z + + + = 2 所确定的函数 z z x y = ( , ) 在点 (1,0, 1) − 处的全微分 dz =_. (3) 已知两条直线的方程是 1 1 2 3 : 1 0 1 x y z L − − − = = − ； 2 2 1 : 2 1 1 x y z L + − = = ,则过 L1 且平 行于 L2 的平面方程是_. (4) 已知当 x →0 时, 1 2 3 (1 ) 1 + − ax 与 cos 1 x − 是等价无穷小,则常数 a =_. (5) 设 4 阶方阵 5 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 A = − ,则 A 的逆阵 1 A − =_. 二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1) 曲线 2 2 1 1 x x e y e − − + = − ( ) (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数 f x( ) 满足关系式 2 0 ( ) ln 2 2 x t f x f dt = + ,则 f x( ) 等于 ( ) (A) ln 2 x e (B) 2 ln 2 x e (C) ln 2 x e + (D) 2 ln 2 x e + (3) 已知级数 1 1 ( 1) 2 n n n a − = − = , 2 1 1 5 n n a − = = ,则级数 1 n n a = 等于 ( ) (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (4) 设 D 是 xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域, D1 是 D 在第一象
区跨春教育KUAKAEDUCATIOIBornto win限的部分，则[[（xy+cosxsiny)dxdy等于()D(B 2[[ xydxdy(A) 2[[ cos xsin ydxdyD(C)(D) 04[[(xy+cosxsin y)dxdyD(5）设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有()(A) ACB=E(B) CBA=E(C) BAC=E(D) BCA=E三、（本题满分15分，每小题5分.）(1)求lim(cosx)(2）设n是曲面2x2+3y2+22=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数6x? +8y2在点P处沿方向n的方向导数.4zv2=2z绕=轴旋转一周而成的曲面与平面(3)(x+y?+z)dV,其中Q是由曲线x=02z=4所围成的立体，四、（本题满分6分）在过点O(0.0)和A(元0)的曲线族v=asinx(a>O)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分[.(1+y)dx+(2x+y)dy的值最小。五、（本题满分8分.）将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅立叶级数，并由此求级数2的和六、（本题满分7分.）设函数f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且3}2f(x)dx=f(0)，证明在(0,1)内存在一点c，使f(c)=0七、（本题满分8分.）
Born to win 限的部分,则 ( cos sin ) D xy x y dxdy + 等于 ( ) (A) 1 2 cos sin D x ydxdy (B) 1 2 D xydxdy (C) 1 4 ( cos sin ) D xy x y dxdy + (D) 0 (5) 设 n 阶方阵 A 、B 、C 满足关系式 ABC E= ,其中 E 是 n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E= (B) CBA E= (C) BAC E= (D) BCA E= 三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.) (1) 求 0 lim (cos ) x x x → + . (2) 设 n 是曲面 2 2 2 2 3 6 x y z + + = 在点 P(1,1,1) 处的指向外侧的法向量,求函数 2 2 6 8 x y u z + = 在点 P 处沿方向 n 的方向导数. (3) 2 2 ( ) x y z dV + + ,其中 是由曲线 2 2 , 0 y z x = = 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z = 4 所围成的立体. 四、(本题满分 6 分) 在过点 O(0,0) 和 A( ,0) 的曲线族 y a x a = sin ( 0) 中,求一条曲线 L ,使沿该曲线从 O 到 A 的积分 3 (1 ) (2 ) L + + + y dx x y dy 的值最小. 五、(本题满分 8 分.) 将函数 f x x x ( ) 2 | | ( 1 1) = + − 展开成以 2 为周期的傅立叶级数,并由此求级数 2 1 1 n n = 的和. 六、(本题满分 7 分.) 设函数 f x( ) 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且 1 2 3 3 ( ) (0) f x dx f = ,证明在(0,1)内存在 一点 c ,使 f c ( ) 0 = . 七、(本题满分 8 分.)
凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIORBorntowin已知α,=(1,0,2,3),α,=(1,1,3,5),α,=(1,-1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8),及β=(1,1,b+3,5)(1）α、b为何值时，β不能表示成α、α2、α、α的线性组合？(2）α、b为何值时，β有α、α2、α、α4的唯一的线性表示式？并写出该表示式八、(本题满分6分)设A为n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行十、填空题（本题满分6分，每小题3分.）(1）若随机变量X服从均值为2方差为α2的正态分布，且P2<X<4=0.3则P/X<0=(2）随机地向半圆0<y<2ax-x2（a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为4十一、(本题满分6分)设二维随机变量（X,Y）的概率密度为[2e-(x+2),x>0,y>0f(x,y)=其他(o,求随机变量Z=X+2Y的分布函数
Born to win 已知 1 = (1,0,2,3) , 2 = (1,1,3,5) , 3 = − + (1, 1, 2,1) a , 4 = + (1,2,4, 8) a ,及 = + (1,1, 3,5) b . (1) a、b 为何值时, 不能表示成 1 2 3 4 、 、 、 的线性组合？ (2) a、b 为何值时, 有 1 2 3 4 、 、 、 的唯一的线性表示式？并写出该表示式. 八、(本题满分 6 分) 设 A 为 n 阶正定阵, E 是 n 阶单位阵,证明 A E+ 的行列式大于 1. 九、(本题满分 8 分) 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P x y ( , ) 处的曲率等于此曲线在该点的法 线段 PQ 长度的倒数( Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与 x 轴平行. 十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.) (1) 若随机变量 X 服从均值为 2,方差为 2 的正态分布,且 P X 2 4 0.3 = ,则 P X 0 =_. (2) 随机地向半圆 2 0 2 − y ax x ( a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概 率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 4 的概率为_. 十一、(本题满分 6 分) 设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 ( 2 ) 2 , 0, 0 ( , ) 0, x y e x y f x y − + = 其他 , 求随机变量 Z X Y = + 2 的分布函数
区跨煮教育FDUCATIOIKUAKAOBornto win1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题满分15分，每小题3分.）sint-tcost(1）【答案】4t3【解析】这是个函数的参数方程，满足参数方程所确定函数的微分法，即[x=Φ(t)dy_ p(t)则如果Ly=p(t)dx0(t)dydy_-sintdt所以dxdx2tdt再对x求导，由复合函数求导法则得dyddydtd-sint121dxdtdxdxdt2t-2tcost+2sint1sint-tcost4t22t4t3(2）【答案】dx-Zdy【解析】这是求隐函数在某点的全微分，这里点(1,0,-1)的含义是z==(1,0)=-1.将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得d(x* + y2 +2)d(xyz)+ =02 /x2 + y2 +2再由全微分四则运算法则得()d +(ydx+ xdy)≥ =- dr+ydy+zdx? +y?+??令x=1, = 0.=-1, 得dy= ±-,即d = dx-~/2dy.V2(3）【答案】x-3y+z+2=0【解析】所求平面IⅡI过直线L，因而过L上的点（1,2,3：因为Ⅱ过平行于L，于是Ⅱ平行于L和L,的方向向量，即IⅡI平行于向量l1=(1,0-1)和向量12=（21,1)，且两向量不共线，于是平面I的方程
Born to win 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1)【答案】 3 sin cos 4 t t t t − 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ( ) ( ) x t y t = = , 则 ( ) ( ) dy t dx t = . 所以 sin 2 dy dy t dt dx t dx dt − = = , 再对 x 求导,由复合函数求导法则得 2 2 sin 1 ( ) ( ) 2 2 d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t − = = 2 3 2 cos 2sin 1 sin cos 4 2 4 t t t t t t t t t − + − = = . (2)【答案】 dx dy − 2 【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点 (1,0, 1) − 的含义是 z z = = − (1,0) 1. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 2 d x y z d xyz x y z + + + = + + , 再由全微分四则运算法则得 2 2 2 ( ) ( ) xdx ydy zdz xy dz ydx xdy z x y z + + + + = − + + , 令 x y z = = = − 1, 0, 1,得 2 dx dz dy − = ,即 dz dx dy = − 2 . (3)【答案】 x y z − + + = 3 2 0 【解析】所求平面 过直线 L1 ,因而过 L1 上的点 (1, 2,3) ； 因为 过 L1 平行于 L2 ,于是 平行于 L1 和 L2 的方向向量,即 平行于向量 l1 = − (1,0, 1) 和向量 l 2 = (2,1,1) ,且两向量不共线,于是平面 的方程
7跨考教育XDEDUCATIONKUAKAOBorntowiny-27-301-1=0,211即x-3y+z+2=0-3(4）【答案】2【解析】因为当x→0时，sinx~x.(1+x)"-1~2当x→0时ax2→0，所以有111(1+ax2)3 1-ax.cosx-sinx-2231Sar(1+ax*)3_12lim所以=limax→0cos.x-1x-→013223因为当x→0时，(1+ax2)-1与COSx-1是等价无穷小，所以Fa=1，故a=23-200)1050-2211(5）【答案】001331一0033【解析】为求矩阵的逆可有多种办法，可用伴随，可用初等行变换，也可用分块求逆.根据本题的特点，若知道分块求逆法，则可以简单解答A00A注意：R-0B0R(ab则求A的伴随矩阵对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：A:dCa-b如果A+0,这样
Born to win 1 2 3 1 0 1 0 2 1 1 x y z − − − − = , 即 x y z − + + = 3 2 0 . (4)【答案】 3 2 − 【解析】因为当 x →0 时, 1 1 sin ,(1 ) 1 n x x x x n + − , 当 x →0 时 2 ax → 0 ,所以有 1 2 2 2 2 3 1 1 1 (1 ) 1 ,cos 1 sin , 3 2 2 + − − = − − ax ax x x x 所以 1 2 2 3 0 0 2 1 (1 ) 1 2 3 lim lim cos 1 3 1 2 x x ax ax a x x → → + − = = − − − . 因为当 x →0 时, 1 2 3 (1 ) 1 + − ax 与 cos 1 x − 是等价无穷小,所以 2 1 3 − = a ,故 3 2 a = − . (5)【答案】 1 2 0 0 2 5 0 0 1 2 0 0 3 3 1 1 0 0 3 3 − − − . 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据 本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答. 注意： 1 1 1 0 0 0 0 A A B B − − − = , 1 1 1 0 0 0 0 A B B A − − − = . 对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律： a b A c d = ,则求 A 的伴随矩阵 * a b d b A c d c a − = = − . 如果 A 0 ,这样