考研数学历年真题：1995考研数一真题及解析

凶跨煮教育KUAKAODUCATIOIBornto win1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1) lim(1+3x)sinxx→0,xcost'dt=(2)(3)设(axb)·c=2,则[(a+b)x(b+c))(c+a)=n(4）幂级数之x2n-1的收敛半径R== 2" +(-3)"10013100(5）设三阶方阵A、B满足关系式：A-'BA=6A+BA，且A=,则B=4100IN二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）[x+3y+2z+1=0,(1）设有直线L：及平面:4x-2y+z-3=0，则直线LL[2x-y-10z+3=0(A）平行于Ⅱ(B)在上(C）垂直于Ⅱ(D与Ⅱ斜交(2）设在[0,1]上F"(x)>0，则f(O)、fU)、f()-f(O)或f(O)-f()的大小顺序是)((A) f'(I)>f'(O)>f()-f(0)(B) f'(I)>f(I)-f(0)> f'(0)(C) f(1)- f(0)> f(1)> f'(0)(D) f'(1)> f(0)-f(1)> f'(0)(3）设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinxD,则f(O)=0是F(x)在x=0处可导的（（A）充分必要条件(B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件(D）既非充分条件又非必要条件，则级数(4)设u,=(-1)"In1+()Vn

Born to win 1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 2 sin 0 lim(1 3 ) x x x → + = _. (2) 2 0 2 cos x d x t dt dx =  _. (3) 设 ( ) 2 a b c   = ,则 [( ) ( )] ( ) a b b c c a +  +  + = _. (4) 幂级数 2 1 1 2 ( 3) n n n n n x  − = + −  的收敛半径 R = _. (5) 设三阶方阵 A 、 B 满足关系式： 1 A BA A BA 6 − = + ,且 1 0 0 3 1 0 0 4 1 0 0 7 A         =         ,则 B = _. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 设有直线 3 2 1 0, : 2 10 3 0 x y z L x y z  + + + =   − − + = 及平面  − + − = : 4 2 3 0 x y z ,则直线 L ( ) (A) 平行于  (B) 在  上 (C) 垂直于  (D) 与  斜交 (2) 设在 [0,1] 上 f x ( ) 0  ,则 f (0) 、 f (1) 、 f f (1) (0) − 或 f f (0) (1) − 的大小顺序是 ( ) (A) f f f f   (1) (0) (1) (0)   − (B) f f f f   (1) (1) (0) (0)  −  (C) f f f f (1) (0) (1) (0) −     (D) f f f f   (1) (0) (1) (0)  −  (3) 设 f x( ) 可导, F x f x x ( ) ( )(1 | sin |) = + ,则 f (0) 0 = 是 F x( ) 在 x = 0 处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 设 1 ( 1) ln 1 n n u n   = − +     ,则级数 ( )

跨考教育XKUAKAOUCATnBorntowin2(A)(B)与之u都收敛与u都发散n=1n=1EWu发散u收敛(C)(D)收敛而发散而台n=1n=1(ai(0 1 0)a13a21ai2a22a230(5)设A=P =10a23Bai2ai3a21a22aio0(as)a33a32(agr+aAgz +ai2a +ai300)1010，则必有P =上01)(1 (A) APP, =B(B) AP,P =B(C) PPA=B(D) P,PA=B三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分.）(1)设u=f(x,y,z),p(x2,e",z)=0,y=sinx,其中f、β都具有一阶连续偏导数,且2+0.求票azdx(2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设[f(x)dx=A,求["dx"f(x)f(y)dy四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分.）(1）计算曲面积分[zdS，其中为锥面z=x2+在柱体x2+y≤2x内的部分.(2）将函数f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数五、(本题满分7分)设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记33为A.已知MA=OA，且L过点，求L的方程22六、(本题满分8分)设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分[,2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意t恒有

Born to win (A) 1 n n u  =  与 2 1 n n u  =  都收敛 (B) 1 n n u  =  与 2 1 n n u  =  都发散 (C) 1 n n u  =  收敛而 2 1 n n u  =  发散 (D) 1 n n u  =  发散而 2 1 n n u  =  收敛 (5) 设 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a     =       , 21 22 23 11 12 13 31 11 32 12 33 13 a a a B a a a a a a a a a     =       + + + , 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 P     =       , 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 P     =       ,则必有 ( ) (A) APP B 1 2 = (B) AP P B 2 1 = (C) PP A B 1 2 = (D) P P A B 2 1 = 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.) (1) 设 2 ( , , ), ( , , ) 0, sin y u f x y z x e z y x = = =  ,其中 f 、 都具有一阶连续偏导数,且 0 z    ,求 du dx . (2) 设函数 f x( ) 在区间 [0,1] 上连续,并设 1 0 f x dx A ( ) =  ,求 1 1 0 ( ) ( ) x dx f x f y dy   . 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.) (1) 计算曲面积分 zdS   ,其中  为锥面 2 2 z x y = + 在柱体 2 2 x y x +  2 内的部分. (2) 将函数 f x x x ( ) 1(0 2) = −   展开成周期为 4 的余弦级数. 五、(本题满分 7 分) 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内, L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交,交点记 为 A .已知 MA OA = ,且 L 过点 3 3 , 2 2       ,求 L 的方程. 六、(本题满分 8 分) 设函数 Q x y ( , ) 在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分 2 ( , ) L xydx Q x y dy +  与 路径无关,并且对任意 t 恒有

凶跨煮教育DUCATCUAKABorn to win2xydx +Q(x,y)dy =2xydx +Q(x, y)dy,(0.0)求Q(x,y).七、（本题满分8分假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶倒数,并且g(x)±0, f(a)= f(b)=g(a)= g(b),试证:(1）在开区间(a,b)内g(x)±0：(2)在开区间(a,b)内至少存在一点5，使(=(g(s)g"(s)八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为=-1,==1,对应于的特征向量为5, =(0,1,1),求 A .九、（本题满分6分）设A是n阶矩阵，满足AA=E（E是n阶单位阵，A是A的转置矩阵)，A<O，求[A+ E].十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分.）(1）设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X?的数学期望E(X2)=(2）设X和Y为两个随机变量，且P(X≥0,Y≥0)=2,4P(X ≥0) = P(Y ≥0)=77则 P(max(X,Y)≥0) =十一、(本题满分6分)ex≥0,设随机变量X的概率密度为fx(x)=求随机变量Y=e的概率密度0,x<0,fr()

Born to win ( ,1) (1, ) (0,0) (0,0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy + = +   , 求 Q x y ( , ) . 七、(本题满分 8 分) 假设函数 f x( ) 和 g x( ) 在 [ , ] a b 上存在二阶倒数,并且 g x ( ) 0  , f a f b g a g b ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ,试证： (1) 在开区间 ( , ) a b 内 g x( ) 0  ； (2) 在开区间 ( , ) a b 内至少存在一点  ,使 ( ) ( ) ( ) ( ) f f g g      =  . 八、(本题满分 7 分) 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1  =−1, 2 3   = =1,对应于 1 的特征向量为 1 (0,1,1)T  = ,求 A . 九、(本题满分 6 分) 设 A 是 n 阶矩阵,满足 T AA E = ( E 是 n 阶单位阵, T A 是 A 的转置矩阵), A  0 ,求 A E+ . 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.) (1) 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则 2 X 的数 学期望 2 E X( ) =_. (2) 设 X 和 Y 为两个随机变量,且   3 0, 0 7 P X Y   = , 4 ( 0) ( 0) 7 P X P Y  =  = , 则 P X Y max( , ) 0  = _. 十一、(本题满分 6 分) 设随机变量 X 的概率密度为 , 0, ( ) 0, 0, x X e x f x x −   =    求随机变量 X Y e = 的概率密度 ( ) Y f y

凶跨煮教育CUAKDUCATIOIBorntowin1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1)【答案】e6【解析】这是1”型未定式求极限，2sinlim(1+3x)sinx =lim(1+3x)3x-令3x=t，则当x→0时，t→0，所以lim(1 + 3x)3x= lim(1+t)x-→026xlim-6.6lim故lim(1+3x)sinx = limesinxosinx3Eex-→0(2）【答案】,costdt-2xcosx兴 xcost’dt=兴(,cosd【解析】办J=J, cost’dt-xcos() (2x)I' cost'dt -2x cos xt.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：m-(()()-(a(0)()(3）【答案】4【解析】利用向量运算律有[(a+b)x(b+c)] (c+a)=[(a+b)xb]-(c+a)+[(a+b)xc].(c+a)=(axb+bxb).(c+a)+(axc+bx).(c+a)(其中bxb=0)=(axb).c+(axb)-a+(axc).c+(bxi).a=(axb).c+(bxc).a=(axb)-c+(axb)c= 4.(4)【答案】V

Born to win 1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 6 e 【解析】这是 1  型未定式求极限, 2 1 2 3 sin 3 sin 0 0 lim(1 3 ) lim(1 3 ) x x x x x x x x   → → + = + , 令 3x t = ,则当 x →0 时, t →0,所以 1 1 3 0 0 lim(1 3 ) lim(1 ) x t x t x t e → → + = + = , 故 0 0 2 6 6 lim 6 lim sin sin sin sin 6 0 0 lim(1 3 ) lim x x x x x x x x x x x x e e e e → → → → + = = = = . (2)【答案】 2 0 2 2 4 cos 2 cos x t dt x x −  【解析】 2 2 ( ) 0 0 2 2 cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx =   ( ) ( ) 2 0 2 2 2 cos cos 2 x = −  t dt x x x  2 0 2 2 4 cos 2 cos x = − t dt x x  . 【相关知识点】积分上限函数的求导公式： ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) x x d f t dt f x x f x x dx   = −        . (3)【答案】 4 【解析】利用向量运算律有 [( ) ( )] ( ) a b b c c a +  +  + = +   + + +   + [( ) ] ( ) [( ) ] ( ) a b b c a a b c c a =  +   + +  +   + ( ) ( ) ( ) ( ) a b b b c a a c b c c a (其中 b b = 0 ) =   +   +   +   ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b a a c c b c a =   +   ( ) ( ) a b c b c a =   +   = ( ) ( ) 4 a b c a b c . (4)【答案】 3

7跨考教育XKUAKAODCAnBorn to winn+2n-1，则当n→时，有【解析】令a,=2" +(-3)"n+12(n+1)2*+ +(3)++1an+limlimJan000n2" +(-3)"=lim x+0<1时，幂级数收敛，即|xk时，此幂级数收敛，当x>1时，即x>/3时，此而当3幂级数发散，因此收敛半径为R=V(300)020(5）【答案】(001)【解析】在已知等式A-BA=6A+BA两边右乘以A-，得A-B=6E+B，即(A--E)B=6E(300)Al-因为040，所以(007200D0B=6(A-I -E)-1 =603000600二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L的方向向量与平面Ⅱ的法向量的相互关系问题直线L的方向向量(ik131:-28i+14j-7k=-7(4i-2j+k),-10平面II的法向量n=4i-2j+k,1IIn，L1I.应选(C)

Born to win 【解析】令 2 1 2 ( 3) n n n n n a x − = + − ,则当 n → 时,有 2( 1) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 ( 3) lim lim 2 ( 3) 2 3 ( 1) 1 1 3 lim , 2 3 3 ( 1) 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n x a a n x n x x n + − + + + → → − → + + + + + − = + −         + − +       =   =         + −       而当 1 2 1 3 x  时,幂级数收敛,即 | | 3 x  时,此幂级数收敛,当 1 2 1 3 x  时,即 | | 3 x  时,此 幂级数发散,因此收敛半径为 R = 3 . (5)【答案】 3 0 0 0 2 0 0 0 1           【解析】在已知等式 1 A BA A BA 6 − = + 两边右乘以 1 A − ,得 1 A B E B 6 − = + ,即 1 ( ) 6 A E B E − − = . 因为 1 3 0 0 0 4 0 007 A −     =       ,所以 1 1 B A E 6( ) 6 − − = − = 1 200 0 3 0 0 0 6 −           = 3 0 0 0 2 0 0 0 1           . 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(C) 【解析】这是讨论直线 L 的方向向量与平面  的法向量的相互关系问题. 直线 L 的方向向量 1 3 2 28 14 7 7(4 2 ) 2 1 10 i j k l i j k i j k     = = − + − = − − +       − − , 平面  的法向量 n i j k = − + 4 2 , l n , L ⊥.应选(C)