考研数学历年真题：1989考研数一真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）f(3 -h)- f(3) _(1)已知f(3)=2,则lim2h(2）设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2[" f(t)dt,则 f(x)=(3）设平面曲线L为下半圆周y=-1-x，则曲线积分（(x+y)ds=(4)向量场u(x,y,z)=xyi+yeij+xln(1+2)k在点P(1,1,0)处的散度divu=(300)(100)4001(5）设矩阵A=1F=0，则逆矩阵（A-2E)-=(003)(001二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）1()(1）当x>0时，曲线y=xsin-X（A）有且仅有水平渐近线(B）有且仅有铅直渐近线(C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线(D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线(2）已知曲面z=4-x2y?上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0,则点P的坐标是()(A)(1,-1,2)(B)(-1,1, 2)(D) (-1,-1,2)(C)(1,1, 2)(3）设线性无关的函数y、、都是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C、C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()(A) Cy+C+y3(B) Cy+C2-(C +C2)y(C) Cy+C,y2-(1-C, -C2)y3(D) Cy+C +(1-C,-C2)y3(4)设函数f(x)=x2,0≤x<1,而S(x)=b,sinn元x,-00<x<+00,其中b, =2[,f(x)sin nxdx, n=1,2,3, ., 则 S(-()）等于2

1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 已知 f (3) 2 = ,则 0 (3 ) (3) lim h 2 f h f → h − − = _. (2) 设 f x( ) 是连续函数,且 1 0 f x x f t dt ( ) 2 ( ) = +  ,则 f x( ) = _. (3) 设平面曲线 L 为下半圆周 2 y x = − −1 , 则曲线积分 2 2 ( ) L x y ds + =  _. (4) 向量场 2 2 ( , , ) ln(1 ) z u x y z xy i ye j x z k = + + + 在点 P(1,1,0) 处的散度 divu = _. (5) 设矩阵 3 0 0 1 4 0 0 0 3 A     =       , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E     =       ,则逆矩阵 1 ( 2 ) A E − − =_. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 当 x  0 时,曲线 1 y x sin x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 已知曲面 2 2 z x y = − − 4 上点 P 处的切平面平行于平面 2 2 1 0 x y z + + − = ,则点 P 的 坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2) (3) 设线性无关的函数 1 y 、 2 y 、 3 y 都是二阶非齐次线性方程 y p x y q x y f x   + + = ( ) ( ) ( ) 的 解 , C1 、 C2 是任意常数 , 则 该 非 齐 次 方 程 的 通 解 是 ( ) (A) C y C y y 1 1 2 2 3 + + (B) 1 1 2 2 1 2 3 C y C y C C y + − + ( ) (C) 1 1 2 2 1 2 3 C y C y C C y + − − − (1 ) (D) 1 1 2 2 1 2 3 C y C y C C y + + − − (1 ) (4) 设函数 2 f x x x ( ) ,0 1, =   而 1 ( ) sin , , n n S x b n x x   = = −    +  其中 1 0 2 ( )sin , 1,2,3, n b f x n xdx n = =   .,则 1 ( ) 2 S − 等于 ( )

(A)_1(B) _!11(C)(D)2244((5）设A是n阶矩阵，且A的行列式|A=O，则A中（A）必有一列元素全为0(B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合(D）任一列向量是其余列向量的线性组合三、（本题满分15分，每小题5分.）(1）设z=f(2x-y)+g(x,ry),其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有连续的二阶偏导数，2求axoy(2）设曲线积分[xydx+yp(x)dy与路径无关，其中p(x)具有连续的导数,且p(0)=0,计算[)T) dx+ yo(n)dy的值(3）计算三重积分[[(x+z)dV,其中Q是由曲面z=x2+y与z=/1-x-所围Q成的区域.四、（本题满分6分.）1+x将函数f(x)=arctan展为x的幂级数1-x五、（本题满分7分.）设f(x)=sinx-(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数，求f(x)六、（本题满分7分.）X/1-cos2xdx在区间(0，+oo）内有且仅有两个不同实根，证明方程Inx=e七、（本题满分6分.）问入为何值时，线性方程组X=元x+4x+x+2x,=+26x+x+4x,=2a+3有解，并求出解的一般形式，八、（本题满分8分.）

(A) 1 2 − (B) 1 4 − (C) 1 4 (D) 1 2 (5) 设 A 是 n 阶矩阵,且 A 的行列式 | | 0 A = ,则 A 中 ( ) (A) 必有一列元素全为 0 (B) 必有两列元素对应成比例 (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.) (1) 设 z f x y g x xy = − + (2 ) ( , ) ,其中函数 f t() 二阶可导, g u v ( , ) 具有连续的二阶偏导数, 求 2 z x y    . (2) 设曲线积分 2 ( ) C xy dx y x dy +   与路径无关,其中 ( ) x 具有连续的导数,且 (0) 0 = , 计算 (1,1) 2 (0,0) xy dx y x dy + ( )  的值. (3) 计算三重积分 ( ) x z dV  +  ,其中  是由曲面 2 2 z x y = + 与 2 2 z x y = − − 1 所围 成的区域. 四、(本题满分 6 分.) 将函数 1 ( ) arctan 1 x f x x + = − 展为 x 的幂级数. 五、(本题满分 7 分.) 设 0 ( ) sin ( ) ( ) x f x x x t f t dt = − −  ,其中 f 为连续函数,求 f x( ) . 六、(本题满分 7 分.) 证明方程 0 ln 1 cos 2 x x xdx e  = − −  在区间(0,+ )内有且仅有两个不同实根. 七、(本题满分 6 分.) 问  为何值时,线性方程组 1 3 1 2 3 1 2 3 4 2 2 6 4 2 3 x x x x x x x x     + =   + + = +   + + = + 有解,并求出解的一般形式. 八、(本题满分 8 分.)

假设入为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：1为A"的特征值；(1)元[4](2)为A的伴随矩阵A*的特征值元九、（本题满分9分.）设半径为R的球面Z的球心在定球面x?+y?+z?=α(a>0)上，问当R为何值时，球面Z在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题（本题满分6分，每小题2分.）(1）已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8,则和事件AUB的概率P(AUB)=(2）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为(3）若随机变量=在（1,6)上服从均匀分布，则方程x2+=x+1=0有实根的概率是十一、（本题满分6分.）设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布，而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数

假设  为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值,证明： (1) 1  为 1 A − 的特征值； (2) A  为 A 的伴随矩阵 A  的特征值. 九、(本题满分 9 分.) 设半径为 R 的球面  的球心在定球面 2 2 2 2 x y z a a + + =  ( 0) 上,问当 R 为何值时,球 面  在定球面内部的那部分的面积最大？ 十、填空题(本题满分 6 分,每小题 2 分.) (1) 已知随机事件 A 的概率 P A( ) =0.5,随机事件 B 的概率 P B( ) =0.6 及条件概率 P B A ( )  =0.8,则和事件 A B 的概率 P A B ( ) =_. (2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5.现已知目标被命中, 则它是甲射中的概率为_. (3) 若随机变量  在(1,6)上服从均匀分布,则方程 2 x x + + =  1 0 有实根的概率是_. 十一、(本题满分 6 分.) 设随机变量 X 与 Y 独立,且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 2 的正态分布,而 Y 服从标准正态分布.试求随机变量 Z X Y = − + 2 3 的概率密度函数

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分,满分15分.）(1)【答案】-1IIm (3-h)- ()--r(3)=-1.【解析】原式=-2 -h→0-h2(2）【答案】x-1【解析】由定积分的性质可知，"f(1)dt和变量没有关系，且f(x)是连续函数，故f(t)dt为一常数,为简化计算和防止混淆,令f"f(t)dt=a,则有恒等式f(x)=x+2a,两边0到1积分得J°(x)dx=J(x+2a)dx,a= J(x+ 2a)dx= J xd +2af,dx=[↓[ +2a[x] =→+2a,即，因此f(x)=x+2a=x-1解之得a=(3）【答案】元【解析】方法一：L的方程又可写成x?+y2=1(y≤O)，被积分函数在L上取值，于是原积分=1ds=元（半径为1的的半圆周长）.方法二：写出L的参数方程，x=cost(v= sin/ (-n ≤/≤0)[,(x? + y")ds = [° (cos’t+sin’t)/(-sint)* +cos’ tdt = [ 1.dt = π则(4）【答案】2【解析】直接用散度公式aaa(ay2)+-(xIn(1+ 22)|,divu p=[(yei) +Ozayox20220)=12+e°+0.=(y? +e"+x=1+1=2.1(1.101+021+20010(5）【答案】2200

1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 −1 【解析】原式= 0 1 (3 ) (3) 1 lim (3) 1 2 2 h f h f f − → h − − − = − = −  − . (2)【答案】 x −1 【解析】由定积分的性质可知, 1 0 f t dt ( )  和变量没有关系,且 f x( ) 是连续函数,故 1 0 f t dt ( )  为一常数,为简化计算和防止混淆,令 1 0 f t dt a ( ) =  ,则有恒等式 f x x a ( ) 2 = + , 两边 0 到 1 积分得 1 1 0 0 f x dx x a dx ( ) ( 2 ) = +   , 即   1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 1 ( 2 ) 2 2 2 a x a dx xdx a dx x a x   = + = + = +        1 2 2 = + a , 解之得 1 2 a = − ,因此 f x x a x ( ) 2 1 = + = − . (3)【答案】  【解析】方法一： L 的方程又可写成 2 2 x y y + =  1( 0),被积分函数在 L 上取值,于是 原积分= 1 L ds =  (半径为 1 的的半圆周长). 方法二：写出 L 的参数方程, cos sin x t y t  =   = , ( 0) −    t 则 0 0 2 2 2 2 2 2 ( ) (cos sin ) ( sin ) cos 1 L x y ds t t t tdt dt    − − + = + − + =  =    . (4)【答案】 2 【解析】直接用散度公式 2 2 [ ( ) ( ) ( ln(1 ))] z P P divu xy ye x z x y z    = + + +    2 2 0 2 2 (1,1,0) 2 20 ( ) 1 0 1 1 2 1 1 0 z z y e x e z = + +  = + +  = + = + + . (5)【答案】 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 1       −      

【解析】由于(300)00A-2E:40020(002)00300为求矩阵的逆可有多种办法，可用伴随，可用初等行变换，也可用分块求逆。方法一：如果对(A-2E:E)作初等行变换，则由（A-2E:E)→(E:（A-2E)-")可以直接得出(A-2E)-1.I本题中，第一行乘以（-1)加到第二行上；再第二行乘以，有2000100010000200011000C0001从而知（A-2E)-0200b方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：则求A的伴随矩阵dA=C如果A±0,这样一lad-0再利用分块矩阵求逆的法则：B-10B00010本题亦可很容易求出（A-2E）-12200二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）

【解析】由于 3 0 0 2 0 0 1 0 0 2 1 4 0 0 2 0 1 2 0 0 0 3 0 0 2 0 0 1 A E             − = − =                   , 为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆. 方法一：如果对 ( 2 ) A E E − 作初等行变换,则由 1 ( 2 ) ( ( 2 ) ) A E E E A E − − → − 可以直接 得出 1 ( 2 ) A E − − . 本题中,第一行乘以 (−1) 加到第二行上;再第二行乘以 1 2 ,有 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 0 0 1 0 0 2 0 1 1 0 0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1             → − → −                     , 从而知 1 1 0 0 1 1 ( 2 ) 0 2 2 0 0 1 A E −     − = −        . 方法二：对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律： a b A c d   =     ,则求 A 的伴随矩阵 * a b d b A c d c a      − = =         − . 如果 A  0 ,这样 1 a b d b d b 1 1 c d c a c a A ad bc −       − −       = =       − − − . 再利用分块矩阵求逆的法则： 1 1 1 0 0 0 0 A A B B − − −       =       , 本题亦可很容易求出 1 1 0 0 1 1 ( 2 ) 0 2 2 0 0 1 A E −     − = −        . 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)