凶跨煮教育KUAKAOFDUICATIOIBorntowin1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.）x+2g(1）设lim(=8,则a=Y0(2）设一平面经过原点及点(6,-3,2)，且与平面4x-y+2z=8垂直，则此平面方程为（3）微分方程y"-2y+2y=e的通解为(4)函数u=In(x+2+2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3,-2,2)点方向的方向导数为02)12(5）设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=C0,则r(AB)=-103二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）(x+ay)dx+ydy为某函数的全微分,则a等于（1）已知()(xr+y)?(A) -1(B) 0(cC) 1(D) 2(x)=1,则(2）设f(x)有二阶连续导数，且(0)=0，lim()=[x|(A）f(O)是f(x)的极大值(B）f(O)是f(x)的极小值(C）(O,f(O))是曲线y=f(x)的拐点(D）f(O)不是f(x)的极值，(O,f(O))也不是曲线y=f(x)的拐点(3)设a,>0(n=1,2.)，且a,收敛，常数e(0.),则级数(-1)"(ntan-a2Yn=ln=1(X(C)发散(A）绝对收敛(B）条件收敛(D）收敛性与入有关1
Born to win 1 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 设 2 lim( ) 8 x x x a → x a + = − ,则 a =_. (2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面 4 2 8 x y z − + = 垂直,则此平面方程为 _. (3) 微分方程 2 2 x y y y e − + = 的通解为_. (4) 函数 2 2 u x y z = + + ln( ) 在 A(1,0,1) 点处沿 A 点指向 B(3, 2, 2) − 点方向的方向导数 为_. (5) 设 A 是 4 3 矩阵,且 A 的秩 r A( ) 2 = ,而 1 0 2 0 2 0 1 0 3 B = − ,则 r AB ( ) = _. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知 2 ( ) ( ) x ay dx ydy x y + + + 为某函数的全微分,则 a 等于 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设 f x( ) 有二阶连续导数,且 f (0) 0 = , 0 ( ) lim 1 | | x f x → x = = ,则 ( ) (A) f (0) 是 f x( ) 的极大值 (B) f (0) 是 f x( ) 的极小值 (C) (0, (0)) f 是曲线 y f x = ( ) 的拐点 (D) f (0) 不是 f x( ) 的极值, (0, (0)) f 也不是曲线 y f x = ( ) 的拐点 (3) 设 0( 1,2, ) n a n = ,且 1 n n a = 收敛,常数 (0, ) 2 ,则级数 2 1 ( 1) ( tan ) n n n n a n = − ( ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与 有关
7跨考教育区KUAKAODUCATIOIBornto win(4）设f(x)有连续的导数，f(O)=0，f'(O)±0，F(x)=(x-t)f(t)dt且当x→0(时，F（x）与x是同阶无穷小，则k等于(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4aoob00b2a的值等于(1(5）四阶行列式0b,a,[b400a(A) aaaa-bbbb(B) aaaa +bb,b,ba(C) (aaz -bb,)(a,a -b,b,)(D) (aa,-b,b,)(a,a-bb,)三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分.）(1）求心形线r=a(1+cosの)的全长，其中a>0是常数(2)设x,=10，xa+1=/6+x（n=1,2,)，试证数列(x)极限存在，并求此极限.四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分.）(1）计算曲面积分[(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y(0≤z≤1)，其S法向量与z轴正向的夹角为锐角u=x-2yaz16022.0z02号=0化简为可把方程6(2)设变换=0,求常数a,，其ax?axoyQy?Ouov[u=x+ay中z=2(x,J)有二阶连续的偏导数五、（本题满分7分）1求级数亡一的和(n2-1)2"六、(本题满分7分)设对任意x>O，曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于f(t)dt,求f(x)的一般表达式七、(本题满分8分)2
Born to win 2 (4) 设 f x( ) 有连续的导数, f (0) 0 = , f (0) 0 , 2 2 0 ( ) ( ) ( ) x F x x t f t dt = − ,且当 x →0 时, F x ( ) 与 k x 是同阶无穷小,则 k 等于 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (5) 四阶行列式 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 a b a b b a b a 的值等于 ( ) (A) 1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a b b b b − (B) 1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a b b b b + (C) 1 2 1 2 3 4 3 4 ( )( ) a a b b a a b b − − (D) 2 3 2 3 1 4 1 4 ( )( ) a a b b a a b b − − 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.) (1) 求心形线 r a = + (1 cos ) 的全长,其中 a 0 是常数. (2) 设 1 x =10 , 1 6 ( 1,2, ) n n x x n + = + = ,试证数列 xn 极限存在,并求此极限. 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.) (1) 计算曲面积分 (2 ) S x z dydz zdxdy + + ,其中 S 为有向曲面 2 2 z x y z = + (0 1) ,其 法向量与 z 轴正向的夹角为锐角. (2) 设变换 u x y 2 , u x ay = − = + 可把方程 2 2 2 2 2 6 0 z z z x x y y + − = 化简为 2 0 z u v = ,求常数 a ,其 中 z z x y = ( , ) 有二阶连续的偏导数. 五、(本题满分 7 分) 求级数 2 2 1 ( 1)2n n n = − 的和. 六、(本题满分 7 分) 设对任意 x 0 ,曲线 y f x = ( ) 上点 ( , ( )) x f x 处的切线在 y 轴上的截距等于 0 1 ( ) x f t dt x ,求 f x( ) 的一般表达式. 七、(本题满分 8 分)
凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIOBorntowin设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件[f(x)飞a，1f"(x)b，其中a,b都是非.6负常数，c是(0,1)内任一点，证明f(c)飞2a+2八、（本题满分6分）设A=E-，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，证明：（1）A=A的充要条件是T=1：（2）当T=1时，A是不可逆矩阵.九、(本题满分8分)已知二次型f(x，x2x)=5x+5x+cx-2xx+6xx-6x的秩为2.（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值：(2）指出方程f(x,xz,x)=1表示何种二次曲面十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分.）（1）设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是)）的随机变量，则随机变量(2）设、n是两个相互独立且均服从正态分布NO,（2-n的数学期望E(-n)=十一、（本题满分6分.）设、n是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为P(=i)=3i=1,2,3, 又设X =max(5,n),Y=min(,n).(1）写出二维随机变量（X,Y）的分布律：X12T3123
Born to win 3 设 f x( ) 在 [0,1] 上具有二阶导数,且满足条件 | ( ) | f x a ,| ( ) | f x b ,其中 ab, 都是非 负常数, c 是(0,1)内任一点,证明 | ( ) | 2 2 b f c a + . 八、(本题满分 6 分) 设 T A E = − ,其中 E 是 n 阶单位矩阵, 是 n 维非零列向量, T 是 的转置,证明： (1) 2 A A = 的充要条件是 1 T = ；(2) 当 1 T = 时, A 是不可逆矩阵. 九、(本题满分 8 分) 已知二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x cx x x x x x x ( , , ) 5 5 2 6 6 = + + − + − 的秩为 2. (1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程 1 2 3 f x x x ( , , ) 1 = 表示何种二次曲面. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.) (1) 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由 A 和 B 的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属 A 生产的概率是_. (2) 设 、 是两个相互独立且均服从正态分布 1 2 (0,( ) ) 2 N 的随机变量,则随机变量 − 的数学期望 E( ) − = _. 十一、(本题满分 6 分.) 设 、 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知 的分布律为 1 3 P i = = , i =1,2,3,又设 X = max( , ) ,Y = min( , ) . (1) 写出二维随机变量 ( , ) X Y 的分布律： X Y 1 2 3 1 2 3
跨考教育XKUAKAOEDUCATIONBorntowin(2）求随机变量X的数学期望E(X）1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.）(1）【答案】ln2【解析】这是1型未定式求极限.x-a3axx+2a3alim()3a x-a)*=lim(1+方法一：X→o0x-aX-0x-a3a今=1,则当x→00时,t→0,x-a1x-a3a则)3alim(1+=lim(1+t)"=e,x->ot-→0x-alin 3arlim3ax+2a30即lim(err-a=ex-*=6X00x-a由题设有e3a=8,得a==ln8=ln234
Born to win 4 (2) 求随机变量 X 的数学期望 E X( ) . 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】 ln 2 【解析】这是 1 型未定式求极限. 方法一： 3 3 2 3 lim( ) lim(1 ) x a ax x a x a x x x a a x a x a − − → → + = + − − , 令 3a t x a = − ,则当 x → 时, t →0, 则 1 3 0 3 lim(1 ) lim(1 ) x a a t x t a t e x a − → → + = + = − , 即 3 3 lim lim 2 1 3 lim( ) x x ax a x a x a x x a e e e x a → − → → + = = = − . 由题设有 3 8 a e = ,得 1 ln8 ln 2 3 a = =
跨煮教育KUAKADCATBorntowin.242a2a2a2a)1+1+liml1+elax+2gXAx= lim=lim方法二a01-lim1x1由题设有e3a=8,得a=-In8=In2.3(2）【答案】2x+2y-3z=0【解析】方法一：所求平面过原点O与M。(6,-3,2)，其法向量n1OM。=(6,-3,2)；平面垂直于已知平面4x-y+2z=8，它们的法向量也互相垂直：n1n，={4,-12]：jijknl/OM,xng =|6 -3 2=-4i-4j+6k.由此，4-12取n=2i+2j-3k，则所求的平面方程为2x+2y-3z=0方法二：所求平面即为过原点，与两个不共线的向量（一个是从原点到点M。（6,-3,2)的向量OM。={6,-3,2),另一是平面4x-y+2z=8的法向量n。=4,-1,2))平行的平面，x即6-32=0,即2x+2y-3z=0.4-1 2(3)【答案】e*(c,cosx+C,sinx+1)【解析】微分方程y"-2y'+2y=e所对应的齐次微分方程的特征方程为r?-2r+2=0，解之得ri,2=1±i.故对应齐次微分方程的解为y=e*(C,cosx+C,sinx)，由于非齐次项ex,α=1不是特征根，设所给非齐次方程的特解为y(x)=ae，代入y"-2y+2y=e得a=1（也不难直接看出y（x）=e），故所求通解为y=e(C, cosx+C, sinx)+e"=e"(C, cosx+C, sinx+l)【相关知识点】①二阶线性非齐次方程解的结构：设y（x）是二阶线性非齐次方程y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程5
Born to win 5 方法二： 2 2 2 3 ( ) 2 2 2 1 1 lim 1 2 lim lim lim 1 1 lim 1 x x a x a x a x a x x a x x x a a x a a a x a e x x x e x a e a a a x x x → → → → − − − → + + + + = = = = = − − − − , 由题设有 3 8 a e = ,得 1 ln8 ln 2 3 a = = . (2)【答案】 2 2 3 0 x y z + − = 【解析】方法一：所求平面过原点 O 与 0 M (6, 3,2) − ,其法向量 n OM ⊥ = − 0 6, 3,2 ； 平面垂直于已知平面 4 2 8 x y z − + = ,它们的法向量也互相垂直： n n ⊥ = − 0 4, 1,2 ； 由此, 0 0 // 6 3 2 4 4 6 4 1 2 i j k n OM n i j k = − = − − + − . 取 n i j k = + − 2 2 3 ,则所求的平面方程为 2 2 3 0 x y z + − = . 方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点 0 M (6, 3,2) − 的向量 OM0 = − 6, 3,2 ,另一是平面 4 2 8 x y z − + = 的法向量 n0 = − 4, 1,2 )平行的平面, 即 6 3 2 0 4 1 2 x y z − = − ,即 2 2 3 0 x y z + − = . (3)【答案】 1 2 ( cos sin 1) x e c x c x + + 【解析】微分方程 2 2 x y y y e − + = 所对应的齐次微分方程的特征方程为 2 r r − + = 2 2 0 ,解之得 1,2 r i = 1 .故对应齐次微分方程的解为 1 2 ( cos sin ) x y e C x C x = + . 由于非齐次项 , 1 x e = 不是特征根,设所给非齐次方程的特解为 * ( ) x y x ae = ,代入 2 2 x y y y e − + = 得 a =1 (也不难直接看出 * ( ) x y x e = ),故所求通解为 1 2 1 2 ( cos sin ) ( cos sin 1) x x x y e C x C x e e C x C x = + + = + + . 【相关知识点】① 二阶线性非齐次方程解的结构：设 * y x( ) 是二阶线性非齐次方程 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的一个特解.Y x( ) 是与之对应的齐次方程