2000年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题填空题-xdxV2x-（2）曲面x2+2y2+322=21在点（1,-2,2)的法线方程为（3）微分方程xy+3y=0的通解为[121Tx（4）已知方程组23a+2无解，则a：x10[1a-2x](5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为A发生B不发生的概率与B发生A不9发生的概率相等，则PA二、选择题(1)设f(x),g(x)是恒大于零得可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g(x)<0,则当a<x<b时，有(A) f(x)g(b)> f(b)g(x)(B) f(x)g(a)>f(a)g(x)(C) f(x)g(x)> f(b)g(b)(D) f(x)g(x)>f(a)g(a)【(2）设S:x2+J+22=α(=≥0),S,为S在第一卦限中的部分，则有(A)fxdS = 4/xds(B)dsLxds(C) [J =dS = 4[[ xds(D) J xyzds =4][ xyzds（3）设级数≥u，收敛，则必收敛的级数为n=l(A)(B)C)uan)(D)4.ns[
2000 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题 一、 填空题 (1) 1 2 0 2x − = x dx ∫ . （2）曲面 2 22 xyz ++= 2 3 21在点(1, 2, 2 − ) 的法线方程为 . （3）微分方程 '' ' xy y + = 3 0的通解为 . （4）已知方程组 1 2 3 12 1 1 23 2 3 12 0 x a x a x ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 无解，则a = . (5)设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 , 9 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不 发生的概率相等，则 P A = . 二、选择题 （1）设 f () () x gx , 是恒大于零得可导函数，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f xgx f xg x − < 0，则当 axb < < 时，有 （A） f () () () () xgb f bgx > （B） f ( xga f agx ) ( ) () () > （C） f () () () () xgx f bgb > （D） f ( xgx f aga ) () () () > 【 】 （2）设 ( ) 2 22 2 1 Sx y z a z S : 0, ++= ≥ 为 S 在第一卦限中的部分，则有 （A） 1 4 S S xdS xdS = ∫∫ ∫∫ （B） 1 4 S S ydS xdS = ∫∫ ∫∫ （C） 1 4 S S zdS xdS = ∫∫ ∫∫ （D） 1 4 S S xyzdS xyzdS = ∫∫ ∫∫ 【 】 （3）设级数 1 n n u ∞ = ∑ 收敛，则必收敛的级数为 （A） ( ) 1 1 . n n n u n ∞ = ∑ − （B） 2 1 n n u ∞ = ∑ （C） ( ) 21 2 1 . n n n u u ∞ − = ∑ − (D) ( ) 1 1 . n n n u u ∞ + = ∑ + 【 】
（4）设n维列向量组αj,",αm（m<n）线性无关，则n维列向量组β,,βm线性无关的充分必要条件为(A)向量组αα可由向量组β.,β线性表示(B)向量组β…β可由向量组α,,αm线性表示(C)向量组αα.与向量组β,β.等价.(D)矩阵A=（αi,αm）与矩阵B=（β,βm）等价【】（5）设二维随机变量（X,Y)服从二维正态分布，则随机变量=X+Y与n=X-Y不相关的充分必要条件为(A)E(X)= E(Y)(B)E(x)-[E(X)}" =E()-[E()(c)E(x3)= E(y2).(D)E(x")+[E(X)] = E(y2)+[E()【!2+essinx三、求lim1+e4μX0z，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求四、设2=axdyVd xdy-ydx,其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周(R>1)，五、计算曲线积分I=dPL 4x?+y2取逆时针方向六、设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S都有bxf (x)dydz-xyf (x)dzdx-e2*zdxdy= 0,其中函数f(x)在(0,+)内具有连续的一阶导数，且lim(x)=1,求f(x)）二的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性。七、求幂级数之=1 3"+(-2)" n八、设有一半径为R的球体，P是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心位置
（4）设 n 维列向量组α α 1, , " m ( ) m n < 线性无关，则 n 维列向量组 1, , β " β m 线性无关的充 分必要条件为 （A） 向量组 1, , α " α m 可由向量组 1, , β " β m 线性表示. （B） 向量组 1, , β " β m 可由向量组 1, , α " α m 线性表示. （C） 向量组 1, , α " α m 与向量组 1, , β " β m 等价. （D） 矩阵 ( ) 1, , A = α " α m 与矩阵 B = (β1, , " β m ) 等价. 【 】 （5）设二维随机变量( ) X ,Y 服从二维正态分布，则随机变量ξ = X +Y 与η = − X Y 不相关 的充分必要条件为 (A) E ( ) () X EY = . (B) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 E X E X EY EY − =− ⎡ ⎤ ⎡⎤ . ⎣ ⎦ ⎣⎦ (C) ( ) () 2 2 E X EY = . (D) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 E X E X EY EY + =+ ⎡ ⎤ ⎡⎤ . ⎣ ⎦ ⎣⎦ 【 】 三、求 1 0 2 sin lim . 4 1 x x e x x e x → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 四、设 , , x x z f xy g y y ⎛ ⎞ ⎛⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 2 . z x y ∂ ∂ ∂ 五、计算曲线积分 2 2 , L 4 xdy ydx I x y − = + v∫ 其中 L 是以点(1,0) 为中心， R 为半径的圆周( ) R >1 ， 取逆时针方向. 六、设对于半空间 x > 0 内任意的光滑有向封闭曲面 S, 都有 () () 2 0, x S xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy − −= w∫∫ 其中函数 f ( ) x 在( ) 0,+∞ 内具有连续的一阶导数，且 ( ) 0 lim 1, x f x → + = 求 f ( x). 七、求幂级数 1 ( ) 1 3 2 n n n n x n ∞ = + − ∑ 的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性. 八、设有一半径为 R 的球体，P0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比（比例常数 k > 0 ），求球体的重心位置
九、设函数f(x)在[0,元]上连续，且[J(x)dx=0,[J(x)cosxdx=0,试证：在(0,元)内至少存在两个不同的点,52，使(5)=F(52)=0十、（本题满分6分）10000001设矩阵A的伴随矩阵A，且ABA-=BA-+3E,其中E为4阶单位矩阵，0一-[0 -3 0 8]求矩阵B.十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将一二熟练工支援6其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年2终考核有成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x，和y，5记为向量(1)的关系式并写成矩阵形式4(2)验证nA的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值(3)5十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为p(0<p<1),各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)十三、设某种元件的使用寿命X的概率密度为[2e-2(r-0),x>0f(x,0)=[o,x≤其中の>0为未知参数，又设x，x2,x是X的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值
九、设函数 f ( ) x 在[0,π ]上连续，且 () () 0 0 f x dx f x xdx 0, cos 0, π π = = ∫ ∫ 试证：在( ) 0,π 内 至少存在两个不同的点 1 2 ξ ,ξ ，使 f f (ξ ξ 1 2 ) = ( ) = 0. 十、（本题满分 6 分） 设矩阵 A 的伴随矩阵 * 1 0 00 0 1 00 , 1 0 10 0 308 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − 且 1 1 ABA BA E3 , − − = + 其中 E 为 4 阶单位矩阵， 求矩阵 B. 十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将 1 6 熟练工支援 其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年 终考核有 2 5 成为熟练工.设第n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 n x 和 n y ， 记为向量 n n x y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . （1） 求 1 1 n n x y + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 与 n n x y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 的关系式并写成矩阵形式： 1 1 1 1 ; n n n n x x A y y + + + + ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ = ⎝⎠⎝⎠ （2） 验证 1 2 4 1 , 1 1 η η ⎛⎞ ⎛ ⎞ − = = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3） 当 1 1 1 2 1 2 x y ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 时，求 1 1 n n x y + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为 p p (0 1 < < ),各产品合格与否相互独立， 当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为 X , 求 X 的数学期望 E X( ) 和方差 D X( ). 十三、设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 ( ) 2( ) 2 , , 0, x e x f x x θ θ θ θ − − ⎧⎪ > = ⎨ ⎪⎩ ≤ 其中θ > 0为未知参数，又设 1 2 , n x x x " 是 X 的一组样本观测值，求参数θ 的最大似然估计 值
2000年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析填空题-xdx=元【答】4【详解】[/2x-xdx=f/1-(x-1)'dxx-1=sinj/,cos*tdt=（2）曲面x2+2y2+3z2=21在点(1,-2,2)的法线方程为x-1_y+2=-2【答】146【详解】令F(x,y,=)=x2+2y2+3-?-21,则有F (1,-2,2)= 2l(a-2)=2,F, (12,2) =4l(2) -8,F (12,2) = 6(-2)=12 因此所求法线方程为：x-1_y+2_2-21-46（3）微分方程xy+3y=0的通解为C【答】y=C, +x【详解】令p=y，则原方程化为3p=0p+Xp=Cx-3其通解为因此，y-Jcr'd=C---+
2000 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、 填空题 (1) 1 2 0 2x − = x dx ∫ . 【答】 . 4 π 【详解】 ( ) 1 1 2 2 2 2 00 0 2 1 1 1 sin cos 4 x x dx x dxx t tdt π π − = − − −= = ∫∫ ∫ （2）曲面 2 22 xyz ++= 2 3 21在点(1, 2, 2 − ) 的法线方程为 . 【答】 122 1 46 xy z −+− = = − . 【详解】 令 ( ) 2 22 F xyz x y z , , 2 3 21 =+ + − ， 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1, 2,2 ' 1, 2,2 ' 1, 2,2 1, 2, 2 2 2, 1, 2, 2 4 8, 1, 2, 2 6 12. | | | x y z F x F y F z − − − −= = − = =− −= = 因此所求法线方程为： 122 1 46 xy z −+− = = − （3）微分方程 '' ' xy y + = 3 0的通解为 . 【答】 2 1 2 C y C x = + . 【详解】 令 ' p = y ，则原方程化为 ' 3 p p 0, x + = 其通解为 3 p Cx . − = 因此， 3 2 2 1 12 2 , 2 2 C C C y Cx dx C x C C x − − ⎛ ⎞ = = − = + =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫
1213a+2（4）已知方程组2无解，则a=1a-20x.【答】-1.【详解】化增广矩阵为阶梯形，有1:17[222:111200-13a+2：-1a1a1-2000a-20(a-3)(a+1)a-3:a-3可见。当α=-1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，因此方程组无解注意，当a=3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，方程组有无穷多解，A发生B不发生的概率与B发生A不(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为9发生的概率相等，则P(A)=2【答】3'【详解】由题设。有P(AB)=,P(AB)= P(AB)因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立。于是由P(AB)=P(AB)，有P(A)P(B)=P(A)P(B)即有 P(A)[1-P(B)]=[1-P(A)]P(B),可得 P(A)= P(B)从而β P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)}=解得 P(4)=2.3二、选择题(1)设f(x),g(x)是恒大于零得可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g (x)<0,则当a<x<b时，有(A) f(x)g(b)> f(b)g(x)(B) f(x)g(a)>f(a)g(x)(C) f(x)g(x)> (b)g(b)(D) f(x)g(x)> f(a)g(a)
（4）已知方程组 1 2 3 12 1 1 23 2 3 12 0 x a x a x ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 无解，则a = . 【答】 -1. 【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有 ( )( ) 12 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 23 2 3 0 1 1 0 1 1 1 2 0 0 2 3 1 00 3 1 3 aa a a a aa a ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + → − →− ⎢ ⎥ − −− − − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ## # ## # ## # 可见。当 a = −1时，系数矩阵的秩为 2，而增广矩阵的秩为 3，因此方程组无解. 注意，当 a = 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2，方程组有无穷多解. (5)设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 , 9 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不 发生的概率相等，则 P A( ) = . 【答】 2 . 3 【详解】 由题设。有 ( ) ( ) ( ) 1 , 9 P AB P AB P AB = = 因为 A 和 B 相互独立，所以 A 与 B ， A 与 B 也相互独立。于是由 P AB P AB ( ) = ( ) ， 有 PAPB PAPB ( ) ( ) = ( ) ( ) 即有 PA PB PA PB () () () ⎡ ⎤⎡ ⎤ 11 , − =− ( ) ⎣ ⎦⎣ ⎦ 可得 P A( ) = P B( ) 从而 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 , 9 P AB P A P B P A = =− = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 解得 P A( ) = 2 . 3 二、选择题 （1）设 f () () x gx , 是恒大于零得可导函数，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f xgx f xg x − < 0，则当 axb < < 时，有 （A） f () () () () xgb f bgx > （B） f ( xga f agx ) ( ) () () > （C） f () () () () xgx f bgb > （D） f ( xgx f aga ) () () () > 【 】