考研数学历年真题：1994考研数一真题及解析

7跨考教育XKUAKAOFDUCATIOIBorntowin1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）1(1)limcotx(sinxTX(2）曲面z-e+2xy=3在点（1,20)处的切平面方程为(3) 设u=e"sin=,则u在点(2 )处的值为axoy元y12(4)设区域D为x+≤R,则[)dxdy6314),设A=αβ，其中α是α的转置，则A"=(5)已知α=(1,2,3),β=(1,23二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）sinxcosxdx,N(sinx+cosx)dxP(1)设M (xsin"x-cosx)dx,1+1则()(A) N<P<M(B) M<P<N(C) N<M<P(D) P<M<N(2）二元函数f(x,y)在点(xo,%)处两个偏导数'(xo,y)、f'(xo,%)存在是f(x,y)在该点连续的(1（A）充分条件但非必要条件(B）必要条件而非充分条件(C）充分必要条件(D）既非充分条件又非必要条件Ia,I(3）设常数>0,且级数α收敛，则级数了-()Jn+an=in=l(A）发散(B）条件收敛(C）绝对收敛(D）收敛性与入有关atanx+b(1-cosx)(4) lim()2,其中α2+c2+0,则必有x-0 cln(1-2x)+d(1-e-r)(A) b=4d(B) b=-4d(C) a=4c(D) a=-4c(5）已知向量组α、α2、α、α,线性无关,则向量组()(A)+α、α+α、线性无关

Born to win 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 0 1 1 lim cot ( ) x sin x → x x − = _. (2) 曲面 2 3 z z e xy − + = 在点(1,2,0)处的切平面方程为_. (3) 设 sin x x u e y − = ,则 2 u x y    在点 1 (2, )  处的值为_. (4) 设区域 D 为 2 2 2 x y R +  ,则 2 2 2 2 ( ) D x y dxdy a b + =  _. (5) 已知 1 1 (1,2,3), (1, , ) 2 3   = = ,设 T A =  ,其中 T  是  的转置,则 n A =_. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 设 2 4 2 2 sin cos 1 x M xdx x   − = +  , 2 3 4 2 N x x dx (sin cos )   − = +  , 2 2 3 4 2 P x x x dx ( sin cos )   − = −  , 则 ( ) (A) N P M   (B) M P N   (C) N M P   (D) P M N   (2) 二元函数 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处两个偏导数 0 0 ( , ) x f x y  、 0 0 ( , ) y f x y  存在是 f x y ( , ) 在 该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数   0,且级数 2 1 n n a  =  收敛,则级数 2 1 | | ( 1)n n n a n   = − +  ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与  有关 (4) 2 0 tan (1 cos ) lim 2 ln(1 2 ) (1 ) x x a x b x c x d e → − + − = − + − ,其中 2 2 a c +  0 ,则必有 ( ) (A) b d = 4 (B) b d =−4 (C) a c = 4 (D) a c =−4 (5) 已知向量组     1 2 3 4 、 、 、 线性无关,则向量组 ( ) (A)   1 2 + 、  2 3 + 、  3 4 + 、  4 1 + 线性无关

凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIONBorntowin(B)---α-线性无关(C）+α、α+、αα-线性无关(D)+α、α+α、α-α、α-,线性无关三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分.）x= cos(t),元d'y在t=求迎(1)设的值1dx?V2y=tcos(t)-dxcosudu,J.2Ju11.1+x,1(2)将函数f(x)==lnarctanx-x展开成x的幂级数41-x2dx(3)求[sin2x+2sinx四、（本题满分6分）计算曲面积分+*d,其中S是由曲面+=R及两平面==R,x?+y?+zSz=-R(R>O)所围成立体表面的外侧五、（本题满分9分）设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+xy]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.六、（本题满分8分）f(x)=0，证明级数设f(x)在点x=0的某一领域内具有二阶连续导数，且limx-→0xf()绝对收敛.1n=l七、（本题满分6分）已知点A与B的直角坐标分别为（1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积八、（本题满分8分）

Born to win (B)   1 2 − 、  2 3 − 、  3 4 − 、  4 1 − 线性无关 (C)   1 2 + 、  2 3 + 、  3 4 + 、  4 1 − 线性无关 (D)   1 2 + 、  2 3 + 、  3 4 − 、  4 1 − 线性无关 三、(本题共 3 小题, 每小题 5 分,满分 15 分.) (1) 设 2 2 2 1 cos( ), 1 cos( ) cos , 2 t x t y t t udu u  =   = −    求 dy dx 、 2 2 d y dx 在 2 t  = 的值. (2) 将函数 1 1 1 ( ) ln arctan 4 1 2 x f x x x x + = + − − 展开成 x 的幂级数. (3) 求 sin 2 2sin dx x x +  . 四、(本题满分 6 分) 计算曲面积分 2 2 2 2 S xdydz z dxdy x y z + + +  ,其中 S 是由曲面 2 2 2 x y R + = 及两平面 z R = , z R R = −  ( 0) 所围成立体表面的外侧. 五、(本题满分 9 分) 设 f x( ) 具有二阶连续导数, f f (0) 0, (0) 1 = =  ,且 2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] 0 xy x y f x y dx f x x y dy + − + + =  为一全微分方程,求 f x( ) 及此全微分方程的 通解. 六、(本题满分 8 分) 设 f x( ) 在点 x = 0 的某一领域内具有二阶连续导数,且 0 ( ) lim 0 x f x → x = ,证明级数 1 1 ( ) n f n  =  绝对收敛. 七、(本题满分 6 分) 已知点 A 与 B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段 AB 绕 z 轴旋转一周所围成 的旋转曲面为 S .求由 S 及两平面 z z = = 0, 1 所围成的立体体积. 八、(本题满分 8 分)

凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIOIBorntowin[x, +x, =0,设四元线性齐次方程组()为又已知某线性齐次方程组(II)的通解为(-x=0,k(0,1,10)+k(-1,2,2,1).(1）求线性方程组(I)的基础解系；(2）问线性方程组(①)和(II)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由，九、(本题满分6分)设A为n阶非零方阵，A是A的伴随矩阵，A是A的转置矩阵，当A=A时，证明IA|±0.十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分.）(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=P，则P(B)=(2）设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律，且X的分布律为X011-21-2P则随机变量Z=maxX,Y的分布律为十一、(本题满分6分)已知随机变量（X,Y)服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,3）和XY1，设Z=3N(O,4°)，X与Y的相关系数Pxy=3+2'2(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)：(2）求X与Z的相关系数Pxz:（3）问X与Z是否相互独立？为什么？

Born to win 设四元线性齐次方程组 () 为 1 2 2 4 0, 0, x x x x  + =   − = 又已知某线性齐次方程组 ( )  的通解为 1 2 k k (0,1,10) ( 1,2,2,1) + − . (1) 求线性方程组 () 的基础解系； (2) 问线性方程组 () 和 ( )  是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没 有,则说明理由. 九、(本题满分 6 分) 设 A 为 n 阶非零方阵, * A 是 A 的伴随矩阵, T A 是 A 的转置矩阵,当 * T A A = 时,证明 | | 0 A  . 十、填空题(本题共 2 小题, 每小题 3 分,满分 6 分.) (1) 已知 A 、B 两个事件满足条件 P AB P AB ( ) ( ) = ,且 P A p ( ) = ,则 P B( ) = _. (2) 设相互独立的两个随机变量 X 、Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为 X 0 1 P 1 2 1 2 则随机变量 Z X Y = max ,   的分布律为_. 十一、(本题满分 6 分) 已知随机变量 ( , ) X Y 服从二维正态分布,且 X 和 Y 分别服从正态分布 2 N(1,3 ) 和 2 N(0,4 ) , X 与 Y 的相关系数 1 2  XY = − ,设 3 2 X Y Z = + , (1) 求 Z 的数学期望 E Z( ) 和方差 D Z( ) ； (2) 求 X 与 Z 的相关系数  XZ ； (3) 问 X 与 Z 是否相互独立？为什么？

凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIORBornto win1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）()【答案】！60.【解析】原式变形后为“”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，所以连0续应用两次洛必达法则，有cosx(x-sinx)x-sinx原式=lim=limcosx·lim3xsin"x-→0r>0x-→011-cosxsinxsinx=1)= lim=lim（由重要极限lim3x266xx-→0x-→0x(2）【答案】2x+y-4=0【解析】所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点（1,2,0）处法线方向的方向向量l，取n=l，又平面过已知点M(1,2,0)已知平面的法向量（A,B,C)和过已知点（xo,yo,）可唯一确定这个平面：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0因点（1,20)在曲面F(x,y,=)=0上.曲面方程Fx,y,=)=z-e+2xy-3曲面在该点的法向量[aF F F]=(2y,2x,1-ei)n=20 = (4,2,0)= 2(2,1,0) [ax"ay"a= ](120)(1,2,0)故切平面方程为2(x-1)+(y-2)=0，即2x+y-4=0元2(3）【答案】e?【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，为了简化运算，所以本题可以先(ou)来Qu，再求ax(ay)ayu--e.cosOyy2y

Born to win 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 1 6 【解析】原式变形后为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,所以连 续应用两次洛必达法则,有 原式 2 0 cos ( sin ) lim x sin x x x → x x − = 3 0 0 sin lim cos lim x x x x x → → x − =  2 0 0 1 cos sin 1 lim lim x x 3 6 6 x x → → x x − = = = . (由重要极限 0 sin lim 1 x x → x = ) (2)【答案】 2 4 0 x y + − = 【解析】所求平面的法向量 n 为平行于所给曲面在点 (1,2,0) 处法线方向的方向向量 l ,取 n l = ,又平面过已知点 M (1,2,0) . 已知平面的法向量 ( , , ) A B C 和过已知点 0 0 0 ( , , ) x y z 可唯一确定这个平面： 0 0 0 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0 − + − + − = . 因点 (1,2,0) 在曲面 F x y z ( , , ) 0 = 上.曲面方程 ( , , ) 2 3 z F x y z z e xy = − + − . 曲面在该点的法向量       (1,2,0) (1,2,0) , , 2 ,2 ,1 4,2,0 2 2,1,0 FFF z n y x e x y z    = = − = =        , 故切平面方程为 2( 1) ( 2) 0 x y − + − = , 即 2 4 0 x y + − = . (3)【答案】 2 2 e  【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先 求 u y   ,再求 u x y          . 2 cos u x x x e y y y  − = − 

凶跨煮教育CAKABornto wina'ua'uau一元xe-coS元xaxoyl2.yoxle!ax+元=(-元~e-(1- x)cos 元x)/ x=2 + 0 =o（可边代值边计算，这样可以简化运算量.）【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u=p(x,y),v=y(x,y)都在点(x,J)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f(p(x,y),y(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有Oz_ Oz Ou Oz Ovfovc,OuaxaxavaxaxOuaxOz_'OuOzOuOzOroyayayayQu yOvayER(+)(4）【答案】R(+)4【解析】很显然，根据此题的特征用极坐标变换来计算：cos'?, sin'?cos', sin’原式：3drb2b2aa"cos?edo=f,"sin'edo=元,注意：151(+)R=r(则原式2+1-3.2-31-211(5）【答案】3"-123312【解析】由矩阵乘法有结合律，注意βαT=3是一个数，3

Born to win ( ) 2 2 2 1 1 1 (2, ) (2, ) 2 2 cos x y x x u u u xe x x y y x x y x      − = = =        = = = −              2 2 2 2 ( (1 )cos ) 0 x x e x x e    − = − − + = = . (可边代值边计算,这样可以简化运算量.) 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 u x y v x y = =   ( , ), ( , ) 都在点 ( , ) x y 具 有对 x 及对 y 的偏导数,函数 z f u v = ( , ) 在对应点 ( , ) u v 具有连续偏导数,则复合函数 z f x y x y = ( ( , ), ( , ))   在点 ( , ) x y 的两个偏导数存在,且有 1 2 z z u z v u v f f x u x v x x x        = + = +          ； 1 2 z z u z v u v f f y u y v y y y         = + = +         . (4)【答案】 4 2 2 1 1 ( ) 4 R a b  + 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 0 0 0 0 R R cos sin cos sin d r rdr d r dr a b a b             = + = +              . 注意： 2 2 2 2 0 0 cos sin d d        = =   , 则 原式 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 R R a b a b       = +  = +         . (5)【答案】 1 1 1 1 2 3 2 3 2 1 3 3 3 1 2 n−                   【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1 1 1 1, , 2 3 2 3 3 T       = =         是一个数