1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分把答案填在题中横线上(1)当x=时，函数y=x·2*取得极小值(2)由曲线y=lnx与两直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积是[x=1及×+1_y+2_2+1(3)与两直线y=-1+t及都平行且过原点的平面方程为111,z=2+1(4)设L为取正向的圆周x2+y2=9,则曲线积分Φ,(2xy-2y)dx+(x2-4x)dy=(5)已知三维向量空间的基底为a,=(1,1,0),α,=(1,0,1),a3=(0,1,1),则向量β=(2,0,0)在此基底下的坐标是二、（本题满分8分）1fdt=1成立求正的常数a与b,使等式lim0bx-sinxJoJa+t三、(本题满分7分)OuOv(1)设f、g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy),求ax'ax[301]0，求矩阵B.(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中A=11[0 1 4]四、(本题满分8分)求微分方程y"+6y"+（9+α)y=1的通解，其中常数a>0五、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）f(x)-f(a)(1)设lim=-1则在x=a处(x-a)?→01
1 1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)当 =_时,函数 取得极小值. (2) 由曲线 与 两 直线 及 所围 成 的平 面图 形的面积是 _. (3)与两直线 及 都平行且过原点的平面方程为 _ . (4) 设 为取正向的圆周 则曲 线 积 分 = _. (5) 已知三维向量空间的基底为 则向量 在此基底下的坐标是_. 二、(本题满分 8 分) 求正的常数 与 使等式 成立. 三、(本题满分 7 分) (1)设 、 为连续可微函数 求 (2)设矩阵 和 满足关系式 其中 求矩阵 四、(本题满分 8 分) 求微分方程 的通解,其中常数 五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 则在 处 x 2 x y x = y x = ln y x = + − e 1 y = 0 x =1 y t = − +1 1 2 1 1 1 1 x y z + + + = = z t = +2 L 2 2 x y + = 9, 2 (2 2 ) ( 4 ) L xy y dx x x dy − + − 1 2 3 α = = = (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), α α β = (2,0,0) a b, 2 0 0 2 1 lim 1 sin x x t dt bx x a t → = − + f g , ( , ), ( ), u f x xy v g x xy = = + , . u v x x A B AB = A B + 2 , 3 0 1 1 1 0 , 0 1 4 = A B. 2 y y a y + + + = 6 (9 ) 1 a 0. 2 ( ) ( ) lim 1, ( ) x a f x f a → x a − = − − x a =
(B)f(x)取得极大值(A)f(x)的导数存在,且f(a)±0(C)f(x)取得极小值(D)f(x)的导数不存在(2)设f(x)为已知连续函数,I=f(tx)dx，其中t>0,s>0,则I的值(A)依赖于S和t(B)依赖于S、t和x(C)依赖于1、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数k>0.则级数≥(-1)k+nn?n=l(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关（4)设A为n阶方阵，且A的行列式/A=α±0,而A是A的伴随矩阵，则|A等于1(A)a(B)-a(C)a"-I(D)a"六：（本题满分10分）求幂级数之"-I的收敛域，并求其和函数"=In.2"七、（本题满分10分）求曲面积分I = [[x(8y+1)dydz +2(1- y2)dzdx-4yzdxdy,2z=/y-1 1≤y≤3其中Z是由曲线f(x)=绕轴旋转一周而成的曲面，其法向量与x=02轴正向的夹角恒大于2八，（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f'(x)±1.证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组2
2 (A) 的导数存在,且 (B) 取得极大值 (C) 取得极小值 (D) 的导数不存在 (2)设 为已知连续函数 其中 则 的值 (A)依赖于 和 (B)依赖于 、 和 (C)依赖于 、 ,不依赖于 (D)依赖于 ,不依赖于 (3)设常数 则级数 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与 的取值有关 (4)设 为 阶方阵，且 的行列式 而 是 的伴随矩阵，则 等于 (A) (B) (C) (D) 六、（本题满分 10 分） 求幂级数 的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分 10 分） 求曲面积分 其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于 八、（本题满分 10 分） 设函数 在闭区间 上可微,对于 上的每一个 函数 的值都在开区间 内,且 1,证明在 内有且仅有一个 使得 九、（本题满分 8 分） 问 为何值时,现线性方程组 f x( ) f a( ) 0 f x( ) f x( ) f x( ) f x( ) 0 , ( ) , s t I t f tx dx = t s 0, 0, I s t s t x t x s s t k 0, 2 1 ( 1)n n k n n = + − k A n A | | 0, A = a * A A * | | A a 1 a n 1 a − n a 1 1 1 2 n n n x n − = 2 I x y dydz y dzdx yzdxdy (8 1) 2(1 ) 4 , = + + − − 1 1 3 ( ) 0 z y y f x x = − = = y y . 2 f x( ) [0,1] [0,1] x, f x( ) (0,1) f x ( ) (0,1) x, f x x ( ) . = ab
(X+X2+X+x=0x +2x +2x4 =1-x2 +(a-3)x,-2x =b3x +2x, +x+ax4=-1有唯一解，无解，有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解十、填空题（本题共3小题，每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上）(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为P,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为而事件A至多发生一次的概率为(2)有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为1e-+2x-1，则X的数学期望为(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)=1元X的方差为十一、（本题满分6分）设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为1 04x≤1ey0 其老r0)= 。fx(x)=o yko求Z=2X+Y的概率密度函数3
3 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)设在一次实验中,事件 发生的概率为 现进行 次独立试验,则 至少发生一次的 概率为_;而事件 至多发生一次的概率为_. (2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从 第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球 的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的 球是白球的概率为_. (3)已知连续随机变量 的概率密度函数为 则 的数学期望为 _, 的方差为_. 十一、（本题满分 6 分） 设随机变量 相互独立,其概率密度函数分别为 , , 求 的概率密度函数. 1 2 3 4 234 2 3 4 1 2 3 4 0 2 2 1 ( 3) 2 3 2 1 x x x x x x x x a x x b x x x ax + + + = + + = − + − − = + + + = − A p, n A A X 2 1 2 1 ( ) e , x x f x − + − = X X X Y, ( ) X f x = 1 0 0 1 x 其它 ( ) Y f y = e 0 − y 0 0 y y Z X Y = + 2
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）(1)求塞级数≥-3)"的收敏域台n3"(2)设f(x)=e,J[p(x)=1-x且p(x)≥0,求p(x)及其定义域(3)设Z为曲面x++=1的外侧，计算曲面积分I = db x dydz + y'dzdx +2'dxdySW二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分.把答案填在题中横线上）+-)2,则 F(1)=(1)若f(t)= limt(1+X(2)设f(x)连续且。f(t)dt=x,则f(7)=2-1<x≤0(3)设周期为 2的周期函数,它在区间(-1,1)上定义为f(x)=，则的傅x2 0<x≤1里叶（Fourier）级数在x=1处收敛于(4)设4阶矩阵A=[a,2,3,4],B=[β,2,3,4],其中a,β,2,Y3,4均为4维列向量,且已知行列式A=4,B=1,则行列式A+B=三、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)设f(x)可导且f(x)=，则△x→0时，f(x）在x处的微分dy是2(A)与△x等价的无穷小(B)与△r同阶的无穷小(C)比△x低阶的无穷小(D)比△x高阶的无穷小(2)设y=f(x）是方程"-2y+4y=0的一个解且f(x）>0,f(x）=0,则函数f(x)在点x处(A)取得极大值(B)取得极小值(D)某邻域内单调减少(C)某邻域内单调增加(3)设空间区域Q:x +2+2*≤R,2≥0,Q:x2+J2+2*≤R,x≥0,y≥0,z≥0,则：4
4 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求幂级数 的收敛域. (2)设 且 ,求 及其定义域. (3) 设 为曲面 的外侧 , 计 算 曲 面 积 分 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上) (1)若 则 = _. (2)设 连续且 则 =_. (3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 上定义为 ,则的傅 里叶 级数在 处收敛于_. (4)设 4 阶矩阵 其中 均为 4 维列向 量,且已知行列式 则行列式 = _. 三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 可导且 则 时 在 处的微分 是 (A)与 等价的无穷小 (B)与 同阶的无穷小 (C)比 低阶的无穷小 (D)比 高阶的无穷小 (2) 设 是方程 的一个解且 则函数 在点 处 (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域 则: 1 ( 3) 3 n n n x n = − 2 ( ) e , [ ( )] 1 x f x f x x = = − ( ) 0 x ( ) x 2 2 2 x y z + + =1 3 3 3 I x dydz y dzdx z dxdy. = + + 1 2 ( ) lim (1 ) , tx x f t t → x = + f t ( ) f x( ) 3 1 0 ( ) , x f t dt x − = f (7) ( 1,1] − f x( ) = 2 2 x 1 0 0 1 x x − ( ) Fourier x =1 2 3 4 2 3 4 A = = [ , , , ], [ , , , ], α γ γ γ B β γ γ γ 234 α, , , , β γ γ γ A B = = 4, 1, A B+ f x( ) 0 1 ( ) , 2 f x = →x 0 , ( ) f x 0 x dy x x x x y f x = ( ) y y y − + = 2 4 0 0 0 f x f x ( ) 0, ( ) 0, = f x( ) 0 x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 + + + + : , 0, : , 0, 0, 0, x y z R z x y z R x y z
(A) [] xdv = 4 [[ dv(B)/ ydv= 4/ yd)C(C) JJ =dv = 4J] =dy(D) [ xyzdv = 4]] xyzdy2a2(4)设幂级数a,(x-1)"在x=-1处收敛,则此级数在x=2处n=l(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组ar,αz,""",α,(3≤s≤n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数k,kz,,k,，使ka,+k,az++k,a(B)α,2,"…,，中任意两个向量均线性无关(C)a,a2,",a中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)α,α2"",a，中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、（本题满分6分）u,..u设u=yf(-)+xg(),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x1ax2axayy五、(本题满分8分)设函数y=J(x)满足微分方程y"-3y+2y=2e',其图形在点（0,1)处的切线与曲线y=x-x-1在该点处的切线重合,求函数y=y(x)六、（本题满分9分）K设位于点(0,1I)的质点A对质点M的引力大小为一(k>0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线y=2x-x自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功七、（本题满分6分）[1 00070[10200,P=-10,求A,AS已知AP=BP,其中B=[0 0二[211]八、（本题满分8分）[200]0[2000001与B=山相似已知矩阵A=[0 1 3001]xJ5
5 (A) (B) (C) (D) (4)设幂级数 在 处收敛,则此级数在 处 (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定 (5) 维向量组 线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数 使 (B) 中任意两个向量均线性无关 (C) 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、(本题满分 6 分) 设 其中函数 、 具有二阶连续导数,求 五、(本题满分 8 分) 设函数 满足微分方程 其图形在点 处的切线与曲线 在该点处的切线重合,求函数 六、（本题满分 9 分） 设位于点 的质点 对质点 的引力大小为 为常数 为 质点与 之 间的距离),质点 沿直线 自 运动到 求在此运动过程中质点 对质点 的引力所作的功. 七、（本题满分 6 分） 已知 其中 求 八、（本题满分 8 分） 已知矩阵 与 相似. 1 2 xdv dv 4 = 1 2 ydv ydv 4 = 1 2 zdv zdv 4 = 1 2 xyzdv xyzdv 4 = 1 ( 1)n n n a x = − x =−1 x = 2 n 1 2 , , , (3 ) s α α α s n 1 2 , , , , s k k k 1 1 2 2 0 s s k k k α + + + α α 1 2 , , , α α αs 1 2 , , , α α αs 1 2 , , , α α αs ( ) ( ), x y u yf xg y x = + f g 2 2 2 . u u x y x x y + y y x = ( ) 3 2 2e , x y y y − + = (0,1) 2 y x x = − −1 y y x = ( ). (0,1) A M 2 ( 0 k k r ,r A M M 2 y x x = − 2 B(2,0) O(0,0), A M AP BP = , 1 0 0 1 0 0 0 0 0 , 2 1 0 , 0 0 1 2 1 1 = = − − B P 5 A A, . 2 0 0 001 0 1 x = A 2 0 0 0 0 0 0 1 y = − B