跨煮教育KUAKADUCATIOIBornto win1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.）(1) 函数 F(x)=[(2-)di(x>0)的单调减少区间为_[3x+2 =12.绕轴旋转一周得到的旋转面在点(0.V3,V2)处的指向外侧(2）由曲线z=0的单位法向量为(3）设函数f(x)=元x+x(-元<x<元）的傅里叶级数展开式为号+之(a,cosm+b,sinx),则其中系数b,的值为2(4)设数量场u=lnx2+y?+2则div(gradu)=(5）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1,则线性方程组Ax=0的通解为二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）((1)设f(x)=[sin(t")dt,g(x)=x +x则当x→0时,f(x)是g(x)的)（A）等价无穷小(B）同阶但非等价无穷小(C）高阶无穷小(D）低阶无穷小(2）双纽线（x2+y）=x2-y所围成的区域面积可用定积分表示为C)cos20de(A)2cos20de(B)Jcos20do4 (cos20)°d6C)(D)[x-y=6z+8(3）设有直线：-1_-5，则L,与L,的夹角为()1-212y+z=3元元(A)(B) 164元元-2(c)(D)31
Born to win 1 1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 函数 1 1 ( ) (2 ) ( 0) x F x dt x t = − 的单调减少区间为_. (2) 由曲线 2 2 3 2 12, 0 x y z + = = 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 (0, 3, 2) 处的指向外侧 的单位法向量为_. (3) 设函数 2 f x x x x ( ) ( ) = + − 的傅里叶级数展开式为 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx = + + ,则其中系数 3 b 的值为_. (4) 设数量场 2 2 2 u x y z = + + ln , 则 div u (grad ) = _. (5) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零,且 A 的秩为 n−1,则线性方程组 Ax = 0 的通解 为_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设 sin 2 0 ( ) sin( ) x f x t dt = , 3 4 g x x x ( ) = + 则当 x →0 时, f x( ) 是 g x( ) 的 ( ) (A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小 (2) 双纽线 2 2 2 2 2 ( ) x y x y + = − 所围成的区域面积可用定积分表示为 ( ) (A) 4 0 2 cos 2 d (B) 4 0 4 cos 2 d (C) 4 0 2 cos 2 d (D) 4 2 0 1 (cos 2 ) 2 d (3) 设有直线 1 1 5 8 : 1 2 1 x y z L − − + = = − 与 2 6 : 2 3 x y L y z − = + = ,则 L1 与 L2 的夹角为 ( ) (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2
凶跨煮教育DUCATIOICUAKABorntowin(4）设曲线积分[,Lf(x)-e"jsinydx-f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续C导数,且f(0)=0,则f(x)等于e"r-ere'-e"(A)(B) 22e"+e-re'+e-(C)(D) 1-22(1 23)24(5）已知O=，P为三阶非零矩阵，且满足PQ=0，则(369)(A）t=6时，P的秩必为1(B)t=6时，P的秩必为2(C)t±6时，P的秩必为1(D)t6时，P的秩必为2三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分.）21(1)求lim(sin=+cos-)4xxer(2) 求dxVer-l(3）求微分方程xy+xy=y，满足初始条件y-=1的特解四、（本题满分6分）计算[[2xzdydz+yzdzdx-2dxdy,其中是由曲面≥=Jx?+2与3z=2-x2-y2所围立体的表面外侧，五、（本题满分7分)求级数之-(F-n+) 的和2"=0六、（本题共2小题，每小题5分，满分10分.）(1）设在[0,+o0)上函数f(x)有连续导数,且f(x)≥k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+o0)内有且仅有一个零点(2)设b>a>e,证明a>b°2
Born to win 2 (4) 设曲线积分 [ ( ) ]sin ( )cos x L f x e ydx f x ydy − − 与路径无关,其中 f x( ) 具有一阶连续 导数,且 f (0) 0 = ,则 f x( ) 等于 ( ) (A) 2 x x e e − − (B) 2 x x e e − − (C) 1 2 x x e e − + − (D) 1 2 x x e e − + − (5) 已知 1 2 3 2 4 3 6 9 Q t = , P 为三阶非零矩阵,且满足 PQ = 0 ,则 (A) t = 6 时, P 的秩必为 1 (B) t = 6 时, P 的秩必为 2 (C) t 6 时, P 的秩必为 1 (D) t 6 时, P 的秩必为 2 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.) (1) 求 2 1 lim(sin cos ) x x→ x x + . (2) 求 1 x x xe dx e − . (3) 求微分方程 2 2 x y xy y + = ,满足初始条件 1 | 1 x y = = 的特解. 四、(本题满分 6 分) 计算 2 2xzdydz yzdzdx z dxdy + − ,其中 是由曲面 2 2 z x y = + 与 2 2 z x y = − − 2 所围立体的表面外侧. 五、(本题满分 7 分) 求级数 2 0 ( 1) ( 1) 2 n n n n n = − − + 的和. 六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.) (1) 设在 [0, ) + 上函数 f x( ) 有连续导数,且 f x k f ( ) 0, (0) 0, 证明 f x( ) 在 (0,+ ) 内有且仅有一个零点. (2) 设 bae ,证明 b a a b
凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIONBorntowin七、（本题满分8分）已知二次型f(x,x2,)=2x+3x+3x+2axzx(a>0)，通过正交变换化成标准形f=y+2y+5y，求参数a及所用的正交变换矩阵八、（本题满分6分）设A是nxm矩阵，B是mxn矩阵，其中n<m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关九、（本题满分6分）设物体A从点（O,1)出发，以速度大小为常数v沿V轴正向运动.物体B从点（-1,O)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分，把答案填在题中横线上.）（1）一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为(2）设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度fr(y)=十一、（本题满分6分）1e-,设随机变量X的概率分布密度为f(x)=8<x<+82(1）求X的数学期望E(X)和方差D(X).(2）求X与|XI的协方差，并问X与|X|是否不相关？(3）问X与|X是否相互独立？为什么？3
Born to win 3 七、(本题满分 8 分) 已知二次型 222 1 2 3 1 2 3 2 3 f x x x x x x ax x a ( , , ) 2 3 3 2 ( 0) = + + + ,通过正交变换化成标准形 2 2 2 1 2 3 f y y y = + + 2 5 ,求参数 a 及所用的正交变换矩阵. 八、(本题满分 6 分) 设 A 是 n m 矩阵, B 是 m n 矩阵,其中 n m , E 是 n 阶单位矩阵,若 AB E = ,证明 B 的列向量组线性无关. 九、(本题满分 6 分) 设物体 A 从点 (0,1) 出发,以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动.物体 B 从点 ( 1,0) − 与 A 同时出发,其速度大小为 2v ,方向始终指向 A ,试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方 程,并写出初始条件. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分,把答案填在题中横线上.) (1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第 二次抽出的是次品的概率为_. (2) 设随机变量 X 服从 (0,2) 上的均匀分布,则随机变量 2 Y X = 在 (0,4) 内的概率分布密 度 ( ) Y f y =_. 十一、(本题满分 6 分) 设随机变量 X 的概率分布密度为 1 | | ( ) 2 x f x e− = , − + x . (1) 求 X 的数学期望 E X( ) 和方差 D X( ) . (2) 求 X 与 | | X 的协方差,并问 X 与 | | X 是否不相关？ (3) 问 X 与 | | X 是否相互独立？为什么？
跨煮教育CADUCATIOBorntowin1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.1(1)【答案】0<x≤4【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性1)dl,两边对x求导,得 F(n)=2-(2将函数F(x)VxYt0，即！若函数 F(t)严格单调减少,则F(x)=2-2Vx1所以函数F(x）单调减少区间为0<x≤X【相关知识点】函数的单调性：设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1）如果在(a,b)内f(x)>0，那么函数y=f(x)在[a,bl上单调增加；(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.(2）【答案】0, V2, V315【解析】先写出旋转面S的方程：3(x2+z2）+2y2=12令F(x, y,2)=3(x2 +2)+2y2 -12则S在点(x,y,z)的法向量为n=+[FOF OF]=±[6x,4y,62),[axaya]所以在点（0.V3.V2）处的法向量为n=±[0,4/3,6/2)=±2[0,2/3,3/2)因指向外侧，故应取正号，单位法向量为2[0,2/3,3/2]n(0.2/3,3/2)=(0, V2, V3)1o-[n](0) +(4v3) +(6/2)*2(3）【答案】4
Born to win 4 1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 1 0 4 x 【解析】由连续可导函数的导数与 0 的关系判别函数的单调性. 将函数 1 1 ( ) (2 ) , x F x dt t = − 两边对 x 求导,得 1 F x( ) 2 x = − . 若函数 F x( ) 严格单调减少,则 1 F x( ) 2 0 x = − ,即 1 2 x . 所以函数 F x( ) 单调减少区间为 1 0 4 x . 【相关知识点】函数的单调性：设函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上连续,在 ( , ) a b 内可导. (1) 如果在 ( , ) a b 内 f x ( ) 0 ,那么函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调增加； (2) 如果在 ( , ) a b 内 f x ( ) 0 ,那么函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调减少. (2)【答案】 1 0, 2, 3 5 【解析】先写出旋转面 S 的方程： 2 2 2 3( ) 2 12 x z y + + = . 令 2 2 2 F x y z x z y ( , , ) 3( ) 2 12 = + + − . 则 S 在点 ( , , ) x y z 的法向量为 , , 6 ,4 ,6 FFF n x y z x y z = = , 所以在点 (0, 3, 2) 处的法向量为 n = = 0,4 3,6 2 2 0,2 3,3 2 . 因指向外侧,故应取正号,单位法向量为 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 0,2 3,3 2 1 1 0,2 3,3 2 0, 2, 3 | | 30 5 0 4 3 6 2 n n n = = = = + + . (3)【答案】 2 3
凶跨煮教育KUAKAncBorn to win【解析】按傅式系数的积分表达式f(x)sin nxdxb:b, ==" (rx+x)sin 3xdx=J xsin3xdx+ 所以"xsin3xdx因为x2sin3x为奇函数，所以x sin3xdx=0；xsin3xdx为偶函数，所以b, = " xsin3xdx =2[" xsin3xdx- --cos3.xd-+[sm3]22=元元33121(4）【答案】x* +y? +=?【解析】先计算u的梯度，再计算该梯度的散度.our.ououk因为gradu=i-i+Ozax2a'u[ouQuou]"u.a"u所以div(grad u)= div02ax?ay?[ax'ay"a]数量场u=lnx?+y2+z分别对x,y,求偏导数，得112xouX2/++2x++2axVx?+y+2?由对称性知ououZyy+y2+22Ozx2 +y2+22将%,%,%分别对x,二求偏导,得ax'ayazy?+2?-x?0u(x?+y?+z)-x.2xax?(x2+y+2)(x2+y? +2)25
Born to win 5 【解析】按傅式系数的积分表达式 1 ( )sin n b f x nxdx − = , 所以 2 2 3 1 1 b x x xdx x xdx x xdx ( )sin 3 sin 3 sin 3 − − − = + = + . 因为 2 x x sin 3 为奇函数,所以 2 x xdx sin3 0 − = ； x xdx sin3 为偶函数,所以 3 0 b x xdx x xdx sin3 2 sin3 − = = 0 0 0 1 2 2 2 ( cos3 ) cos3 cos3 3 3 3 x xd x x xdx = − = − + 0 2 2 sin 3 2 3 3 3 3 x = + = . (4)【答案】 2 2 2 1 x y z + + 【解析】先计算 u 的梯度,再计算该梯度的散度. 因为 grad u u u u i j k x y z = + + , 所以 222 2 2 2 (grad ) , , u u u u u u div u div x y z x y z = = + + . 数量场 2 2 2 u x y z = + + ln 分别对 x y z , , 求偏导数,得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 u x x x x y z x y z x y z = = + + + + + + , 由对称性知 2 2 2 u y y x y z = + + , 2 2 2 u z z x y z = + + , 将 , , uuu x y z 分别对 x y z , , 求偏导,得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) u x y z x x y z x x x y z x y z + + − + − = = + + + +