凶跨煮教育KUAKAOFDUCATIOIBorntowin1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题（本题共5分，每小题3分，满分15分.把答案在题中横线上.）13sin x+xcos--X(1) limr-0 (1+ cos x) In(1+ x)(2）设幂级数》a,x"的收敛半径为3,则幂级数na,(x-1)"的收敛区间为n=0=专元(3）对数螺线p=e在点(p,①)=(）处的切线的直角坐标方程为P[1 2-23(4)设A=XtB为三阶非零矩阵，且AB=0,则t=[3-11（5）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）xy(x,y)+(0,0)(1）二元函数f(x,y)=x2+y在点(0,0)处()o,(x, y) = (0,0)(A）连续，偏导数存在(B）连续，偏导数不存在(C）不连续，偏导数存在(D）不连续，偏导数不存在(2) 设在区间[a,b]上 f(x)>0, f(x)<0, f"(x)>0,令S, =[" f(x)dx,S, = f(b)(b-a),[f(a)+f(b)(b-a),则S, =()2(A) S, <S, <S,(B) S, <S, <S,(C) S, <S <S2(D) S,<S,<S(3)设F(x):int sin tdt,则 F(x)（(B）为负常数(C）恒为零(D）不为常数(A）为正常数[a][b.][c]6(4)设α=dn则三条直线ax+by+c=0，ax+by+c,=0，α=,aC1[b,][a,][c,]1
Born to win 1 1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1) 2 0 1 3sin cos lim (1 cos )ln(1 ) x x x x → x x + = + + . (2) 设幂级数 0 n n n a x = 的收敛半径为 3,则幂级数 1 1 ( 1)n n n na x + = − 的收敛区间为 . (3) 对数螺线 e = 在点 2 ( , ) ( , ) 2 e = 处的切线的直角坐标方程为 . (4) 设 1 2 2 4 3 3 1 1 A t − = − , B 为三阶非零矩阵,且 AB = 0,则 t = . (5) 袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一 球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 二元函数 2 2 , ( , ) (0,0), ( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y = + = 在点 (0,0) 处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 (2) 设在区间 [ , ] a b 上 f x f x f x ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, 令 1 2 ( ) , ( )( ) b a S f x dx S f b b a = = − , 3 1 [ ( ) ( )]( ) 2 S f a f b b a =+− ,则 ( ) (A) 1 2 3 S S S (B) 213 S S S (C) 3 1 2 S S S (D) 2 3 1 S S S (3) 2 sin ( ) sin , x t x F x e tdt + = 设 则 F x( ) ( ) (A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数 (4) 设 1 1 1 1 2 2 2 3 2 3 3 3 , , , a b c a b c a b c = = = 则三条直线 1 1 1 a x b y c + + = 0 , 2 2 2 a x b y c + + = 0
凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIOIBornto win()a,x+by+c=0（其中a2+b2+0,i=1,2,3)交于一点的充要条件是(A）αi,α2,α,线性相关(B）α,α2,α,线性无关(C)秩r(α,α2,α,)=秩r(α,α)(D）α,αz,α,线性相关，α,α,线性无关（5）设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是()(A) 8(C) 28(B) 16(D) 44三、（本题共3小题,每小题5分，满分15分.）V2=2z，绕≥轴旋转一周形成的曲面与(1）计算I=(x+dV,其中α为平面曲线[x=0Q平面z=8所围成的区域[x? + y? =1,从2(2）计算曲线积分Φ.(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中C是曲线[x-y+z=2,轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的.(3）在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为xo，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k>0,求x(t).四、（本题共2小题，第(1)小题6分,第(2)小题7分，满分13分.）x+y+b=0.(1)设直线L：在平面Ⅱ上，且平面Ⅱ与曲面z=+相切于点[x+ay-z-3=0(1,-2,5),求a,b之值.0=+0==e*=,求(2）设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(esiny）满足方程ax?ayf(u).2
Born to win 2 3 3 3 a x b y c + + = 0 (其中 2 2 0, 1,2,3 i i a b i + = )交于一点的充要条件是 ( ) (A) 1 2 3 , , 线性相关 (B) 1 2 3 , , 线性无关 (C) 秩 1 2 3 r( , , ) = 秩 1 2 r( , ) (D) 1 2 3 , , 线性相关, 1 2 , 线性无关 (5) 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2,则随机变量 3 2 X Y − 的方差 是 ( ) (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.) (1) 计算 2 2 I x y dV ( ) , = + 其中 为平面曲线 2 2 , 0 y z x = = 绕 z 轴旋转一周形成的曲面与 平面 z = 8 所围成的区域. (2) 计算曲线积分 ( ) ( ) ( ) C z y dx x z dy x y dz − + − + − ,其中 C 是曲线 2 2 1, 2, x y x y z + = − + = 从 z 轴正向往 z 轴负向看,C 的方向是顺时针的. (3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为 N ,在 t = 0 时刻已掌握新技术的人数为 0 x ,在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 xt() (将 xt() 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积 成正比,比例常数 k 0, 求 xt() . 四、(本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 7 分,满分 13 分.) (1) 设直线 0, : 3 0 x y b L x ay z + + = + − − = 在平面 上,且平面 与曲面 2 2 z x y = + 相切于点 (1, 2,5) − ,求 ab, 之值. (2) 设函数 f u( ) 具有二阶连续导数,而 ( sin ) x z f e y = 满足方程 2 2 2 2 2 z z x e z x y + = ,求 f u( )
凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIORBornto win五、（本题满分6分)设 () 连续, (1)=l (x1)dl,且 im ( = A (A 为常数), o(c)并讨论0(c)在x=0处的连续性.六、（本题满分8分）11设a=2an+1=-(a. +),n=1,2.,证明2a.(1）lima,存在：a,(2）级数收敛三（an+)七、（本题共2小题，第（1)小题5分，第(2)小题6分，满分11分.）(1)设B是秩为2的5×4矩阵，α=(1,1,2,3),αz=(-1,1,4,-1),α=(5,-1,-8,9)是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基[1[2-12](2）已知=是矩阵A=5α3的一个特征向量1-1[-1 b -2]（I）试确定参数a,b及特征向量=所对应的特征值；（I）问A能否相似于对角阵？说明理由八、（本题满分5分）设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第i行对换后得到的矩阵记为B，（1）证明B可逆；(2)求AB-l.九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互D独立的，并且概率都是.设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数5和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X的概率密度为3
Born to win 3 五、(本题满分 6 分) 设 f x( ) 连续, 1 0 ( ) ( ) , x f xt dt = 且 0 ( ) lim x f x A → x = ( A 为常数),求 ( ) x 并讨论 ( ) x 在 x = 0 处的连续性. 六、(本题满分 8 分) 设 1 1 1 1 2, ( ), 1,2,., 2 n n n a a a n a = = + = + 证明： (1) lim n n a → 存在； (2) 级数 1 1 1 n n n a a = + − 收敛. 七、(本题共 2 小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分,满分 11 分.) (1) 设 B 是秩为 2 的 5 4 矩阵, 1 2 3 (1,1,2,3) , ( 1,1,4, 1) , (5, 1, 8,9) T T T = = − − = − − 是 齐次线性方程组 Bx = 0 的解向量,求 Bx = 0 的解空间的一个标准正交基. (2) 已知 1 1 1 = − 是矩阵 2 1 2 5 3 1 2 A a b − = − − 的一个特征向量. (Ⅰ) 试确定参数 ab, 及特征向量 所对应的特征值； (Ⅱ) 问 A 能否相似于对角阵？说明理由. 八、(本题满分 5 分) 设 A 是 n 阶可逆方阵,将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B . (1) 证明 B 可逆； (2) 求 1 AB− . 九、(本题满分 7 分) 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互 独立的,并且概率都是 2 5 .设 X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 X 的分布律、分布函数 和数学期望. 十、(本题满分 5 分) 设总体 X 的概率密度为
7跨煮教育XKUAKAOEDUCATIONBorntowin(0+1)x,0<x<1,f(x)=[0,其它，其中0>-1是未知参数.,，x是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量4
Born to win 4 ( 1) , 0 1, ( ) 0, x x f x + = 其它， 其中 −1 是未知参数. 1 2 , , , n x x x 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本,分别 用矩估计法和最大似然估计法求 的估计量
门跨考教育XKUAKAOEDUCATIONBornto win1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5分，每小题3分，满分15分.把答案在题中横线上.）3(1）【答案】2【分析】这是sinxIn(1+ x) =1.一型极限.注意两个特殊极限lim=1,lim0Xx→(x【解析】将原式的分子、分母同除以x，得11sinx3sin x+xcos-+xcos-3xxx_=limlimIn(1 + x)Lx0 (1+ cos x) In(1+ x)(1+ cosx)xf(x)2应存在或为0，而本题中，评注：使用洛必达法则的条件中有一项是limx- g'(x)1(3sinx+x2cos-3cosx+2xcos=+sinYxxlimlimr-01+cosx[(1+ cos x) In(1+ x)]-sinxln(1+x)+1+x极限不存在，也不为，不满足使用洛必达法则的条件，故本题不能用洛必达法则。【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量.(2）【答案】（-2,4)【解析】考察这两个幂级数的关系.令t=X一1，则na,-ma,r-ra.tn=in=1由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径，Za,"的收敛半径为3=7=的收敛半径为3.从而12na,t"的收敛半径为3,收敛区间即（-7=n=ln=13,3)，回到原幂级数之na,(x-1)"+l,它的收敛区间为-3<x-1<3,即(-2,4)，=l评注：幂级数的收敛区间指的是开区间，不考虑端点。antl对于≥a.x,若Im1=它的收敛半径是R=.但是若只知它的收敛半径0:n→+0a,0n=01an+la..为R，则±lim因为lim可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).Raa.5
Born to win 5 1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】 3 2 【分析】这是 0 0 型极限.注意两个特殊极限 0 0 sin ln(1 ) lim 1,lim 1 x x x x → → x x + = = . 【解析】将原式的分子、分母同除以 x ,得 2 0 0 1 sin 1 3sin cos 3 cos 3 lim lim . (1 cos )ln(1 ) 2 ln(1 ) (1 cos ) x x x x x x x x x x x x x x → → + + = = + + + + 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 应存在或为 ,而本题中, 2 0 0 1 1 1 (3sin cos ) 3cos 2 cos sin lim lim 1 cos (1 cos )ln(1 ) sin ln(1 ) 1 x x x x x x x x x x x x x x x → → + + + = + + + − + + + 极限不存在,也不为 ,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则. 【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量. (2)【答案】 ( 2, 4) − 【解析】考察这两个幂级数的关系.令 t x = −1,则 ( ) 1 2 1 2 1 1 1 n n n n n n n n n na t t na t t a t + − = = = = = . 由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径, 1 n n n a t = 的收敛半径为 3 ( ) 1 n n n a t = 的收敛半径为 3.从而 ( ) 2 1 1 1 n n n n n n t a t na t + = = = 的收敛半径为 3,收敛区间即(- 3,3),回到原幂级数 1 1 ( 1)n n n na x + = − ,它的收敛区间为 − − 3 1 3 x ,即 ( 2, 4) − . 评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点. 对于 0 n n n a x = ,若 1 lim n n n a a + →+ = 它的收敛半径是 1 R = .但是若只知它的收敛半径 为 R ,则 1 1 lim n n n a a R + →+ = ,因为 1 lim n n n a a + →+ 可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形)