1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）V1+x+Vi-x-2(1) limx2-0a2z(2)设z=f(xy)+yp(x+y),f,p具有二阶连续导数,则axoyX(3)设L为椭圆二+之=1,其周长记为a，则Φ(2xy+3x2+4y)ds=43(4）设A为n阶矩阵，A+0，A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值入，则（A）+E必有特征值及直线y=0,x=1,x=e?所围成，二维随机变量(X,Y)在(5）设平面区域D由曲线V=X区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分.）(a) 设(n)连续,则兴(x-r)dt=()dxJ(A) xf(x)(B) -xf(x2)(c) 2xf(x2)(D) -2xf(x3)()(2）函数f(x)=(x2-x-2)x3-x不可导点的个数是(D) 0(A) 3(B) 2(C) 1yAr(3）已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Ay+α,且当△x→0时，α是△x的1+x2高阶无穷小，y(0)=元，则(1)等于()Cei3(A)2元(B) 元(D)元e4[ab,G[是满秩的,则直线二二=岁二号=二 与直线b,（4）设矩阵。a,C2b,-b,-c2a-ab,La,Cy-b,x-a,z-C()b,-b,a,-a,C2-C1资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 1 1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 2 0 1 1 2 lim x x x → x + + − − = . (2) 设 1 z f xy y x y f ( ) ( ), , x = + + 具有二阶连续导数,则 2 z x y = . (3) 设 L 为椭圆 2 2 1, 4 3 x y + = 其周长记为 a ,则 2 2 (2 3 4 ) L xy x y ds + + = . (4) 设 A 为 n 阶矩阵, A 0 , * A 为 A 的伴随矩阵, E 为 n 阶单位矩阵.若 A 有特征值 , 则 * 2 ( ) A E+ 必有特征值 . (5) 设平面区域 D 由曲线 1 y x = 及直线 2 y x x e = = = 0, 1, 所围成,二维随机变量 ( , ) X Y 在 区域 D 上服从均匀分布,则 ( , ) X Y 关于 X 的边缘概率密度在 x = 2 处的值为 _ . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1) 设 f x( ) 连续,则 2 2 0 ( ) d x tf x t dt dx − = ( ) (A) 2 xf x( ) (B) 2 −xf x( ) (C) 2 2 ( ) xf x (D) 2 −2 ( ) xf x (2) 函数 2 3 f x x x x x ( ) ( 2) = − − − 不可导点的个数是 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知函数 y y x = ( ) 在任意点 x 处的增量 2 , 1 y x y x = + + 且当 →x 0 时, 是 x 的 高阶无穷小, y(0) = ,则 y(1) 等于 ( ) (A) 2 (B) (C) 4 e (D) 4 e (4) 设矩阵 111 222 333 a b c a b c a b c 是满秩的,则直线 3 3 3 1 2 1 2 1 2 x a y b z c a a b b c c − − − = = − − − 与直线 1 1 1 2 3 2 3 2 3 x a y b z c a a b b c c − − − = = − − − ( )
(B)重合(A）相交于一点(D)异面(C）平行但不重合(5)设A、B是两个随机事件,且0<P(A)<1,P(B)>0,P(BA)=P(BIA),则必有()(A) P(A|B)= P(A|B)(B) P(A|B)+ P(A|B)(C) P(AB)= P(A)P(B)(D) P(AB)± P(A)P(B)三、（本题满分5分）求直线L:1=在平面:x-y+2=-1=0上的投影直线L。的方程，并求11-1L.绕y轴旋转一周所成曲面的方程，四、（本题满分6分）确定常数,使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xy(x+y)i-x(x4+y）j为某二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y)五、（本题满分6分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度V之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为p，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>O).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=(v)六、（本题满分7分）计算[ axdhd+(e+a) dad,其中为下半球面≥=-a2-x2-的上侧,a为大(x2 +y2 +2)N于零的常数.七、（本题满分6分）2元sinsin-sin元n+n求lim11n+10n+n+2Ln)八、（本题满分5分）2资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 2 (A) 相交于一点 (B) 重合 (C) 平行但不重合 (D) 异面 (5) 设 A B 、 是两个随机事件,且 0 ( ) 1, ( ) 0, ( | ) ( | ), = P A P B P B A P B A 则必有( ) (A) P A B P A B ( | ) ( | ) = (B) P A B P A B ( | ) ( | ) (C) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = (D) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) 三、(本题满分5分) 求直线 1 1 : 1 1 1 x y z L − − = = − 在平面 − + − = : 2 1 0 x y z 上的投影直线 L0 的方程,并求 L0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程. 四、(本题满分6分) 确定常数 ,使在右半平面 x 0 上的向量 4 2 2 4 2 A x y xy x y i x x y j ( , ) 2 ( ) ( ) = + − + 为某二元函数 u x y ( , ) 的梯度,并求 u x y ( , ) . 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y (从海平面算 起)与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在 下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m ,体积为 B ,海水比重为 ,仪器所 受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为 k k( 0) .试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出 函数关系式 y = y v( ) . 六、(本题满分7分) 计算 2 1 2 2 2 2 ( ) , ( ) axdydz z a dxdy x y z + + + + 其中 为下半球面 2 2 2 z a x y = − − − 的上侧, a 为大 于零的常数. 七、(本题满分6分) 求 2 sin sin sin lim . 1 1 1 2 n n n n n n n → + ++ + + + 八、(本题满分5分)
设正项数列(a,)单调减少,且(-1)"a,发散,试问级数之(”是否收敛？并说a+ll明理由.九、（本题满分6分）设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数(1）试证存在x=(0,1)，使得在区间[0,x]上以(x)为高的矩形面积，等于在区间[x,]上以y=f(x)为曲边的梯形面积(2) 又设(s)在区间(01)内可导,且F(t)>-2(,证明(1)中的x,是唯一的:x十、(本题满分6分)已知二次曲面方程x2+ay?+2+2bxy+2xz+2yz=4，可以经过正交变换x115P-15化为椭圆柱面方程n2+4z2=4，求a.b的值和正交矩阵P十一、(本题满分4分)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A*x=0有解向量α，且Ak-α±0，证明：向量组α,Aα…,A-"α是线性无关的.十二、(本题满分5分）已知线性方程组a,+a22+.+a.2nx2n=0a21 +a22x2+..+a2.2nX2n=0,(1)amX,+an2X,+.+an,2nX2=0的一个基础解系为(b,b2,"b.2n）,(b2,ba2"bz2n）(bub2,",ba2n），试写出线性方程组3资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 3 设正项数列 an 单调减少,且 1 ( 1)n n n a = − 发散,试问级数 1 1 ( ) 1 n n n a = + 是否收敛？并说 明理由. 九、(本题满分6分) 设 y f x = ( ) 是区间 [0,1] 上的任一非负连续函数. (1) 试证存在 0 x (0,1) ,使得在区间 0, x0 上以 0 f x( ) 为高的矩形面积,等于在区间 x0 ,1 上以 y f x = ( ) 为曲边的梯形面积. (2) 又设 f x( ) 在区间 (0,1) 内可导,且 2 ( ) ( ) , f x f x x − 证明(1)中的 0 x 是唯一的. 十、(本题满分6分) 已知二次曲面方程 2 2 2 x ay z bxy xz yz + + + + + = 2 2 2 4 ,可以经过正交变换 x y P z = 化为椭圆柱面方程 2 2 + = 4 4,求 ab, 的值和正交矩阵 P . 十一、(本题满分4分) 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k ,使线性方程组 0 k A x = 有解向量 ,且 1 0 k A − , 证明：向量组 1 , , , k A A − 是线性无关的. 十二、(本题满分5分) 已知线性方程组 11 1 12 2 1,2 2 21 1 22 2 2,2 2 1 1 2 2 ,2 2 0, 0, ( ) 0 n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x I a x a x a x + + + = + + + = + + + = 的一个基础解系为 11 12 1,2 21 22 2,2 1 2 ,2 ( , , , ) ,( , , , ) , ,( , , , ) T T T n n n n n n b b b b b b b b b ,试写出线性 方程组
biyi+bi2y2 +...+bi2ny2n =0,b2ii+b2y2+.+b2.2my2n=0,(II)bmyi+bn2y2+...+bn.2nJ2m=0的通解，并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量X,Y相互独立，且都服从均值为0、方差为=的正态分布，求随机变量2X-Y的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体N(3.4.62）中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？121e2dt附表：标准正态分布表（2)=2元Z1.281.6451.962.33Φ(=)0.9000.9750.9900.950十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程附表：t分布表P(t(n)≤t,(n)) =pPt.(n)0.950.975n351.68962.0301361.68832.02814资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 4 11 1 12 2 1,2 2 21 1 22 2 2,2 2 1 1 2 2 ,2 2 0, 0, ( ) 0 n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y II b y b y b y + + + = + + + = + + + = 的通解,并说明理由. 十三、(本题满分6分) 设两个随机变量 X Y, 相互独立,且都服从均值为0、方差为 1 2 的正态分布,求随机变量 X Y− 的方差. 十四、(本题满分4分) 从正态总体 2 N(3.4,6 ) 中抽取容量为 n 的样本,如果要求其样本均值位于区间 (1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量 n 至少应取多大？ 附表：标准正态分布表 2 2 1 ( ) 2 t z z e dt − − = z 1.28 1.645 1.96 2.33 ( )z 0.900 0.950 0.975 0.990 十五、(本题满分4分) 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩 为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成 绩为70分？并给出检验过程. 附表： t 分布表 { ( ) ( )} P t n t n p = p p ( ) p t n n 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分 15分.）1(1）【答案】4【解析】方法1：用四则运算将分子化简，再用等价无穷小替换(1+x+ /1-x-2)(V1+x+ V1-x+2)原式=limx2(/1+x+ /1-x+2)(VI+x+/1-x) -42(V1-x2 -=limJin?0→04x20 x2(V1+x+ /1-x+2)11/1-x22lim42x2方法2：采用洛必达法则.1(VI+x+VI-x-22/1+x 2/-xlim原式洛lim2xX-→(X-0(x2)-11-V1+xVi-x-/I+xVi-x2/1-x 2/1+x洛limlimlimX→04x44x/1-x2X-0t1-1lim2/1-x2/1+x47方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至x2项，/I+x =1++o (x), 1-x+0,(x2)5一XD28911+0.(x2)+12+0(x2)-21+XN从而原式=limxx→0+0 (x)+02 (x)= limx24x>0(2)【答案】yf"(xy)+p(x+y)+yp"(x+y)5资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 5 1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 1 4 − 【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换, 原式 ( )( ) ( ) 0 2 1 1 2 1 1 2 lim 1 1 2 x x x x x x x x → + + − − + + − + = + + − + ( ) ( ) 2 0 2 1 1 4 lim 1 1 2 x x x x x x → + + − − = + + − + ( ) 2 2 0 2 1 1 lim x 4 x → x − − = 2 2 2 2 0 1 1 1 2 1 1 2 lim x 2 4 x x x → x − − − − = − . 方法2：采用洛必达法则. 原式 ( ) ( ) 0 2 1 1 2 limx x x x → + + − − 洛 0 1 1 2 1 2 1 lim x 2 x x → x − + − = 0 2 1 1 lim 4 1 x x x x x → − − + = − 0 1 1 lim x 4 x x → x − − + = 0 1 1 2 1 2 1 lim x 4 x x → − − − + 洛 0 1 1 lim 2 1 2 1 1 4 4 x→ x x − − − + = = − . 方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至 2 x 项, 1+ x ( ) 2 2 1 1 1 1 2 8 = + − + x x o x , 1− x ( ) 2 2 2 1 1 1 2 8 = − − + x x o x , 从而 原式 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 0 1 1 1 1 1 1 2 2 8 2 8 lim x x x o x x x o x → x + − + + − − + − = ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 0 1 4 lim x x o x o x → x − + + = 1 4 =− . (2)【答案】 yf xy x y y x y ( ) ( ) ( ) + + + +