2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分满分15分把答案填在题中横线上dx(1)xln?x(2)已知函数y=y(x)由方程e+6xy+x2-1=0确定,则y"(0)=(3)）微分方程+y"2=0满足初始条件=1,=的特解是(4)已知实二次型f(x,x2,x3)=a(x+x+x)+4xx2+4x,x+4x2x,经正交变换x=Py可化成标准型f=6y,则a=(5)设随机变量X服从正态分布N(u,α)α>0),且二次方程y+4y+X=0无实根的概1率为一则u：2二、选择题（本题共5小题，每小题3分满分15分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)考虑二元函数f(x,Jy)的下面4条性质①f(x,y)在点(xo,y）处连续；②f(x,y)在点(xo,yo）处的两个偏导数连续③f(x,y)在点(xo,y)处可微；f(x,y)在点(xoy）处的两个偏导数存在，若用“P=Q”表示可由性质P推出性质Q，则有(A)②=?=0(B) ③=②=0(C)?=④=0(D) @=0=@(2)设u, 0(n=1,2,3,L),且lim兰=1,则级数之(-1-1)+1(1unn=lu.(A）发散(B）绝对收敛(C）条件收敛(D）收敛性根据所给条件不能判定数学(一)试题第1页(共13页)
数学(一)试题 第1页(共 13 页) 2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) + e x x dx 2 ln = . (2)已知函数 y y x = ( ) 由方程 6 1 0 2 e + xy + x − = y 确定,则 y (0) = . (3)微分方程 0 2 yy + y = 满足初始条件 0 0 1 1, ' 2 x x y y = = = = 的特解是 . (4) 已知实二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = a(x1 + x + x ) + 4x x + 4x x + 4x x 经正 交 变 换 x Py = 可化成标准型 2 6 1 f = y ,则 a = . (5)设随机变量 X 服从正态分布 2 N( , )( 0) ,且二次方程 4 0 2 y + y + X = 无实根的概 率为 1 2 ,则 ＝ . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质: ① f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处连续; ② f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的两个偏导数连续; ③ f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可微; ④ f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的两个偏导数存在． 若用“ P Q ”表示可由性质 P 推出性质 Q ,则有 (A) ② ③ ①. (B) ③ ② ①. (C) ③ ④ ①. (D) ③ ① ④. (2)设 0( 1,2,3, ) n u n = L ,且 lim 1 n n n → u = ,则级数 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) n n n n u u + = + − + (A) 发散. (B) 绝对收敛. (C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定
(3)设函数y=f(x)在(0,+oo)内有界且可导,则(A)当 limf(x)=0时,必有limf'(x)=0(B）当limf(x)存在时,必有limf(x)=0(C）当limf(x)=0时,必有limf(x)=0(D)当 lim f(x)存在时,必有lim f(x)=0(4)设有三张不同平面的方程a,x+ai2y+as==b,i=1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为区2(A)(B)(C)(D)(5)设X，和X，是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f(x）和f,（x），分布函数分别为F(x)和E(x),则(A）f(x)+f,(x)必为某一随机变量的概率密度(B）f(x)f,(x)必为某一随机变量的概率密度(C）F(x)+F(x)必为某一随机变量的分布函数(D）F(x)F(x)必为某一随机变量的分布函数三、（本题满分6分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(O)±0,f(O)±0，若af(h)+bf(2h)-f(O)在h一→0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值数学(一)试题第2页(共13页)
数学(一)试题 第2页(共 13 页) (3)设函数 y f x = ( ) 在 (0, ) + 内有界且可导,则 (A) 当 lim ( ) = 0 →+ f x x 时,必有 lim ( ) = 0 →+ f x x . (B) 当 lim f (x) x →+ 存在时,必有 lim ( ) = 0 →+ f x x . (C) 当 0 lim ( ) 0 x f x → + = 时,必有 0 lim ( ) 0 x f x → + = . (D) 当 0 lim ( ) x f x → + 存在时,必有 0 lim ( ) 0 x f x → + = . (4)设有三张不同平面的方程 i i i i 1 2 3 a x a y a z b + + = , i = 1,2,3 ,它们所组成的线性方程组的系 数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为 1 f x( ) 和 2 f x( ), 分布函数分别为 1 F x( ) 和 2 F x( ),则 (A) 1 f x( ) ＋ 2 f x( ) 必为某一随机变量的概率密度. (B) 1 f x( ) 2 f x( ) 必为某一随机变量的概率密度. (C) 1 F x( ) ＋ 2 F x( ) 必为某一随机变量的分布函数. (D) 1 F x( ) 2 F x( ) 必为某一随机变量的分布函数. 三、(本题满分 6 分) 设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域 内 具有一阶连续导数 , 且 f f (0) 0, (0) 0 , 若 af h bf h f ( ) (2 ) (0) + − 在 h →0 时是比 h 高阶的无穷小,试确定 a,b 的值
四、（本题满分7分）rctane-dt在点(O,O)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限已知两曲线y=f(x）与y=2lim nf(=)n五、（本题满分7分）计算二重积分 JJemx(x,)dxdy,其中 D=(x,)[0≤x≤1,0≤≤1)D六（本题满分8分）设函数f(x)在(-o0,+oo)内具有一阶连续导数,L是上半平面（y>0)内的有向分段光滑曲线其起点为（a,b）终点为（c,d）记[1+y ()]d+ ()-1]dy,V（1）证明曲线积分I与路径L无关(2)当ab=cd时,求I的值七、（本题满分7分)6393r3n2+L(1)验证函数(x)=1++L（-80<x<+0）满足微分方程3!6!9!(3n)!y"+y'+y=e';(2)利用(1)的结果求幂级数之瑞的和函数= (3n)!八（本题满分7分）设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D=((x,y)|x2-xy≤75),小山的高度函数为h(xJ)=75-x2-+xyV(1)设M(xo，yo）为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？数学(一)试题第3页(共13页)
数学(一)试题 第3页(共 13 页) 四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 y = f (x) 与 − = x t y e dt arctan 0 2 在点 (0,0) 处的切线相同,写出此切线方程,并求极限 ) 2 lim ( n nf n→ . 五、(本题满分 7 分) 计算二重积分 e dxdy D x y max{ , } 2 2 ,其中 D = {( x, y) | 0 x 1,0 y 1} . 六、(本题满分 8 分) 设函数 f (x) 在 ( , ) − + 内具有一阶连续导数, L 是上半平面( y ＞0)内的有向分段光滑曲线, 其起点为( a,b ),终点为( c, d ).记 2 2 2 1 [1 ( )] [ ( ) 1] , L x I y f xy dx y f xy dy y y = + + − (1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关; (2)当 ab = cd 时,求 I 的值. 七、(本题满分 7 分) (1) 验证函数 3 3 3 3 6 9 ( ) 1 ( ) 3! 6! 9! (3 )! n x x y x x n = + + + + + + − + L L 满 足 微 分 方 程 x y + y + y = e ; (2)利用(1)的结果求幂级数 3 0 (3 )! n n x n = 的和函数. 八、(本题满分 7 分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面,其底部所占的区域为 2 D x y x ={( , ) | 2 + − y xy 75},小山的高度函数为 h(x, y) = − x − y + xy 2 2 75 . (1)设 ( , ) 0 0 M x y 为区域 D 上一点,问 h(x, y) 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?
若记此方向导数的最大值为g(xo,y。）,试写出g(xo,yo）的表达式(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点也就是说,要在D的边界线x2+y2-xy=75上找出使(1)中g(x,J)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置九、（本题满分6分）已知四阶方阵A=(αα2α,α)α,α2α,α均为4维列向量,其中α2αα线性无关，α,=2αz-α,如果β=α+αz+α+α4,求线性方程组Ax=β的通解十、（本题满分8分）设A,B为同阶方阵(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立(3）当A.B均为实对称矩阵时，证明（1)的逆命题成立十一、（本题满分7分）设维随机变量X的概率密度为(1000x0≤X≤元,-COS0f(x)=2其他。0,对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于的次数,求Y2的数学期望3十二、(本题满分7分)设总体X的概率分布为X20130202P20(1-0)1-20-I其中0-）是未知参数利用总体X的如下样本值2数学(一)试题第4页(共13页)
数学(一)试题 第4页(共 13 页) 若记此方向导数的最大值为 ( , ) 0 0 g x y ,试写出 ( , ) 0 0 g x y 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点. 也就是说,要在 D 的边界线 2 2 x y xy + − = 75 上找出使(1)中 g(x, y) 达到最大值的点.试确定攀登 起点的位置. 九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵 ( , , , ) A = 1 2 3 4 , 1 2 3 4 , , , 均为 4 维列向量,其中 2 3 4 , , 线性无关, 1 = 2 2 −3 ,如果 =1 + 2 +3 + 4 ,求线性方程组 Ax = 的通解. 十、(本题满分 8 分) 设 A B, 为同阶方阵, (1)若 A B, 相似,证明 A B, 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 A B, 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 X 的概率密度为 1 cos , 0 , ( ) 2 2 0, x x f x = 其他. 对 X 独立地重复观察４次,用 Y 表示观察值大于 3 的次数,求 2 Y 的数学期望. 十二、(本题满分 7 分) 设总体 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2 2 (1− ) 2 1−2 其中 1 (0 ) 2 是未知参数,利用总体 X 的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3求的矩估计值和最大似然估计值2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题+dInx原式==1（1）【分析】In2xInx（2）【分析】方程两边对x两次求导得①e"y'+6xy+6y+2x=0e'y"+e'y?+6xy"+12y'+2=0.②以x=0代入原方程得y=0，以x=y=0代入①得y=0,，再以x=y=y=0代入②得y"(0) = -2（3）【分析】这是二阶的可降阶微分方程dy"dp=pdp令"=P(y)(以为自变量),则y"=dxdxdydpypdp+P2=0即y+P=0（或P=0,但其不满足初始条件代入方程得dydydP =0,分离变量得PyIn|PI+In以=C,即P=(P=0对应C,=0);积分得11由x=0时y=1P=y=5，得C=于是P2数学(一)试题第5页(共13页)
数学(一)试题 第5页(共 13 页) 3,1,3,0,3,1,2,3, 求 的矩估计值和最大似然估计值. 2002 年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 原式 2 ln 1 1. ln ln e e d x x x + + = = − = (2)【分析】 方程两边对 x 两次求导得 ' 6 ' 6 2 0, y e y xy y x + + + = ① 2 '' ' 6 '' 12 ' 2 0. y y e y e y xy y + + + + = ② 以 x = 0 代入原方程得 y = 0 , 以 x y = = 0 代入 ①得 y ' 0, = , 再以 x y y = = =' 0 代 入 ② 得 y ''(0) 2. = − (3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程. 令 y P y ' ( ) = (以 y 为自变量),则 ' '' . dy dP dP y P dx dx dy = = = 代入方程得 2 0 dP yP P dy + = ,即 0 dP y P dy + = (或 P = 0 ,但其不满足初始条件 0 1 ' 2 x y = = ). 分离变量得 0, dP dy P y + = 积分得 ln ln ', P y C + = 即 C1 P y = ( P = 0 对应 1 C = 0 ); 由 x = 0 时 1 1, ' , 2 y P y = = = 得 1 1 . 2 C = 于是