2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分把答案填在题中横线上）(1)设y=e(C,sinx+C,cosx)(C,C,为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为(2) 设 r = /x2 + y2 + 22 ,则 div (gradr) |(a,-2.2) =(3)交换二次积分的积分次序:[~dy],"f(x,)dx=(4)设矩阵A满足A+A-4E=O,其中E为单位矩阵,则（A-E)-=(5)设随机变量X的方差是2，则根据切比雪夫不等式有估计P(X-E(X)/≥2)≤二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）(1)设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如右图所示则y=f(x）的图形为(B)(A)(2)设f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且f(0,0)=3,f(0,0)=1,则(A) d. ko.0)=3dx+dy.(B）曲面z=f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为(3,1,1)
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1)设 1 2 ( sin cos ) x y e C x C x = + ( 1 2 C C, 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通 解,则该方程为_. (2)设 2 2 2 r = x + y + z ,则 div(gradr) (1,−2,2) =_. (3)交换二次积分的积分次序: − 0 − 1 1 2 ( , ) y dy f x y dx ＝_. (4)设矩阵 A 满足 2 A A E + − = 4 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 1 ( ) A E − − =_. (5) 设随机变量 X 的方差是 2 , 则 根据 切 比 雪 夫 不 等 式 有估计 P{ X − E(X) 2} _. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)设函数 f (x) 在定义域内可导, y = f (x) 的图形如右图所 示 , 则 y = f (x) 的图形为 (2)设 f (x, y) 在点 (0,0) 附近有定义,且 f x (0,0) = 3, f y (0,0) = 1,则 (A) (0,0) | 3 z d dx dy = + . (B) 曲面 z = f (x, y) 在 (0,0, (0,0)) f 处的法向量为{3,1,1}
z=f(x,y)(C）曲线在(0,0,f(0,0)处的切向量为(1,0,3)y=0z= f(x,y)在(0,0,F(0,0)处的切向量为(3,0,1)(D)曲线y=0(3）设f(O）=0,则f(x）在x=0处可导的充要条件为(A) Jim(B) lim-f(1-cosh）存在f(1-e)存在h-0h2h-0h1lim三Lf(2h)-f(h)存在(C)lim-lig方(h-sinh)存在.(D)h-→0 h[40001110000则A与B(4)设A=B0000000011（A）合同且相似(B）合同但不相似(D）不合同且不相似(C）不合同但相似(5）将一枚硬币重复掷n次以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于1(A)-1.(B) 0.(C)(D) 1.2三、（本题满分6分）arctaner求dxe2x四、（本题满分6分）afaf设函数z=f(x,y)在点(1,1)处可微且f(1,1)=121=3,0(x)= f(x,(1.1axoy(x, x),求兴-0(x)=ldx五、（本题满分8分）
(C) 曲线 = = 0 ( , ) y z f x y 在 (0,0, (0,0)) f 处的切向量为{1,0,3}. (D) 曲线 = = 0 ( , ) y z f x y 在 (0,0, (0,0)) f 处的切向量为{3,0,1}. (3)设 f (0) = 0 ,则 f (x) 在 x =0 处可导的充要条件为 (A) 2 0 1 lim (1 cosh) h f → h − 存在. (B) 0 1 lim (1 ) h h f e → h − 存在. (C) 2 0 1 lim ( sinh) h f h → h − 存在. (D) 0 1 lim [ (2 ) ( )] h f h f h → h − 存在. (4)设 1 1 1 1 4 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 , , 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 A B = = 则 A 与 B (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似. (5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关 系数等于 (A)-1. (B) 0. (C) 1 2 . (D) 1. 三、(本题满分 6 分) 求 dx e e x x 2 arctan . 四、(本题满分 6 分) 设函数 z = f (x, y) 在点 (1,1) 处可微,且 f (1,1) 1 = , (1,1) | 2 f x = , (1,1) | 3 f y = ,( ) ( , x f x = f x x ( , )).求 1 3 ( ) x= x dx d . 五、(本题满分 8 分)
[arctanx,x+0,"(-1)"将f(x)展开成x的幂级数,并求级数设f(x)的和1,1-4n2x=0六、（本题满分7分）计算I=(y2-)dx+(222-x)dy+(3x2-)dz,其中 L是平面x++z=2与柱面x+=1的交线，从Z轴正向看去，L为逆时针方向七、（本题满分7分）设f(x）在(-1,1)内具有二阶连续导数且f"(x）0,试证(1)对于(-1,1)内的任一x±0,存在惟一的0(x)=(0,1),使f(x)=f(0)+xf(0(x)x)成立;1(2) lim 0(x) =2八、（本题满分8分）2(x+y设有一高度为h(t)（t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程≥=h(t)-h(t)长度单位为厘米,时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9),问高度为130（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？九、（本题满分6分）设αα2α为线性方程组Ax=0的一个基础解系,=α+αβ,=α+tα，β,=tα,+t,α,其中t,t,为实常数.试问t,t,满足什么条件时,β,β2，,β,也为Ax=0的一个基础解系.十、（本题满分8分）已知3阶矩阵A与三维向量x使得向量组x,Ax,Ax线性无关，且满足A3x=3Ax-2A?x(1)记P=（x,Ax,Ax）,求3阶矩阵B,使A=PBP-l；(2)计算行列式A+E十一、（本题满分7分）
设 f (x) = 2 1 arctan , 0, 1, 0, x x x x x + = 将 f (x) 展开成 x 的幂级数,并求级数 = − − 1 2 1 4 ( 1) n n n 的和. 六、(本题满分 7 分) 计算 I y z dx z x dy x y dz L ( ) (2 ) (3 ) 2 2 2 2 2 2 = − + − + − ,其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱 面 x + y =1 的交线,从 Z 轴正向看去, L 为逆时针方向. 七、(本题满分 7 分) 设 f (x) 在 ( 1,1) − 内具有二阶连续导数且 f (x) 0 ,试证: (1)对于 ( 1,1) − 内的任一 x 0,存在惟一的 (x) (0,1) ,使 f (x) = f (0) + xf ( (x)x) 成立; (2) 0 1 lim ( ) x 2 x → = . 八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 ht() ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 ( ) 2( ) ( ) 2 2 h t x y z h t + = − ( 设 长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时? 九、(本题满分 6 分) 设 s , , , 1 2 为线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系, 1 1 1 2 2 = + t t , 2 1 2 2 3 = + t t , , s s 1 2 1 = + t t ,其中 1 2 t ,t 为实常数.试问 1 2 t ,t 满足什么条件时, s , , , 1 2 也为 Ax = 0 的一个 基础解系. 十、(本题满分 8 分) 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ,使得向量组 2 x Ax A x , , 线性无关,且满足 A x Ax A x 3 2 = 3 − 2 . (1)记 P =（ x Ax A x 2 , , ）,求 3 阶矩阵 B ,使 −1 A = PBP ; (2)计算行列式 A+ E . 十一、(本题满分 7 分)
设某班车起点站上客人数X服从参数为（入>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（O<p<1），且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车的人数，求：(1）在发车时有n个乘客的条件下中途有m人下车的概率(2)二维随机变量（X,Y)的概率分布十二、（本题满分7分）设总体X服从正态分布Nu,α）（>0),从该总体中抽取简单随机样本X,X2，X2(n≥2)其样本均值为=FX求统计量Y=（X,+X+-2X）的数学期望E(Y)2n台i=l2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1）【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是r，=1土i,从而得知特征方程为(r -r)(r-r)=r2-(+r)r+rn=r2-2r+2=0由此，所求微分方程为y-2y+2y=0(2）【分析】先求gradr[ar orarZxygradrLaxa"ay-raa0x()+再求divgradrOzaxay1Lr1V0+(3)+r3rrAP22于是divgradrl(a,-2,2)(1,2,2)31
设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ( 0 )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为 p ( 0 1 p ),且中途下车与否相互独立.以 Y 表示在中途下车的人数,求: (1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布. 十二、(本题满分 7 分) 设总体 X 服从正态分布 2 N( , ) ( 0 ),从该总体中抽取简单随机样本 1 2 X X, , , X2n ( n 2 ),其样本均值为 = = n i Xi n X 2 2 1 1 ,求统计量 = = + + − n i Y Xi X n i X 1 2 ( 2 ) 的数学期望 E Y( ) . 2001 年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是 1 2 r r i , 1 = ,从而得知特征方程为 2 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 2 0 r r r r r r r r r r r r − − = − + + = − + = . 由此,所求微分方程为 '' ' y y y − + = 2 2 0 . (2)【分析】 先求 gradr. g r adr= , , , , r r r x y z x y z r r r = . 再求 divg radr= ( ) ( ) ( ) x y z x r y r z r + + = 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 3 2 ( ) ( ) ( ) x y z x y z r r r r r r r r r + + − + − + − = − = . 于是 divg radr| (1, 2,2) − = (1, 2,2) 2 2 | r 3 − =
(3）【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为-1≤y≤0时+y=11-y≤2.由此看出二次积分「°dyf(x,y)dx是二重积分的一个累次积分，它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为[~dyf"f(x, y)dx = [[ f(x, y)dxdy由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D-1y≤0,1-yx≤2见图.现可交换积分次序原=- dy f(x, y)dx=-f" dxf (x, y)dy=f"dxf f(x, y)dy（4）【分析】矩阵A的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.(A-E)(A+2E)-2E=A+A-4E=0因为A+2E故(A-E)E(A-E)(A+2E)=2E,即21(A-E)- ==(A+2E).按定义知2(5）【分析】根据切比雪夫不等式P(IX-E(X)≥6)≤ D(m)6D(x)1于是PI|X-E(X)≥2)≤222二、选择题（1）【分析】当x<0时,f(x)单调增=f(x)≥0,(A)(c)不对当x>0时,(x)：增—一减—一增=(x):正一一负——正,(B)不对,(D)对应选(D).(2）【分析】我们逐一分析关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由f(x,y)在(0.0)存在两个偏导数f(x,y)在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 − 1 0 y 时 1 2 − y .由此看出二次积分 0 2 1 1 ( , ) y dy f x y dx − − 是二重积分的一个累次 积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为 0 2 1 1 ( , ) ( , ) y D dy f x y dx f x y dxdy − − = . 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D : − − 1 0,1 2 y y x . 见图.现可交换积分次序 原式= 0 2 2 0 2 1 1 1 1 1 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y x dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy − − − − − = − = . (4)【分析】 矩阵 A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用 定义法. 因为 2 ( )( 2 ) 2 4 0 A E A E E A A E − + − = + − = , 故 ( )( 2 ) 2 A E A E E − + = ,即 2 ( ) 2 A E A E E + − = . 按定义知 1 1 ( ) ( 2 ) 2 A E A E − − = + . (5)【分析】 根据切比雪夫不等式 2 ( ) { ( ) } D x P X E X − , 于是 2 ( ) 1 { ( ) 2} 2 2 D x P X E X − = . 二、选择题 (1)【分析】 当 x 0 时, f x( ) 单调增 ' f x( ) 0 ,(A),(C)不对; 当 x 0 时, f x( ) :增——减——增 ' f x( ) :正——负——正,(B)不对,(D)对. 应选(D). (2)【分析】 我们逐一分析. 关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由 f x y ( , ) 在(0,0)存在两个偏导数 f x y ( , ) 在(0,0 )处可 微.因此(A)不一定成立