2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷答案解析、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）11(1) lim (cos x)n(+)Ve【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)8()(1")=elim(x)-1)g(")进行计算求极限均可，10osIn(1+x*)01n(1+x)【详解1】lim (cos x)ex-0 sin xIn cosxIn cosx1cos.xlim=lim= lim而2x2x=0 n(1 + x2)x→0x-→02x故厚式-e=Ve112【详解2】因为lim (cos x -lim2In(1 + x2)02i1原式=e2=所以Ve【评注】本题属常规题型（2）曲面z=x2+y?与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程是2x+4y-z=5【分析】待求平面的法矢量为n={2,4,-1)，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程，而切点坐标可根据曲面==x2+y2切平面的法失量与n={2,4,-1)平行确定【详解】令F(x,J,2)=z-x?-J2,则F'=-2x, F,=-2y, F'=1.设切点坐标为(xo,Jo,=），则切平面的法矢量为(-2xo,-2yo,1)，其与已知平面2x+4y-z=0平行，因此有
2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷答案解析 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + → = e 1 . 【分析】 1 型未定式，化为指数函数或利用公式 ( ) lim ( ) g x f x (1 ) = lim( f ( x) 1)g ( x) e − 进行 计算求极限均可. 【详解 1】 ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + → = x x x e lncos ln(1 ) 1 lim 2 →0 + , 而 2 1 2 cos sin lim ln cos lim ln(1 ) ln cos lim 0 2 0 2 0 = − − = = → + → → x x x x x x x x x x ， 故 原式= . 1 2 1 e e = − 【详解 2】 因为 2 2 1 1 lim ln(1 ) 1 lim (cos 1) 2 2 0 2 0 = − − = + − → → x x x x x x ， 所以 原式= . 1 2 1 e e = − 【评注】 本题属常规题型 （2）曲面 2 2 z = x + y 与平面 2x + 4y − z = 0 平行的切平面的方程是 2x + 4y − z = 5 . 【分析】 待求平面的法矢量为 n = {2,4,−1} ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方 程, 而切点坐标可根据曲面 2 2 z = x + y 切平面的法矢量与 n = {2,4,−1} 平行确定. 【详解】 令 2 2 F(x, y,z) = z − x − y ，则 F x x = −2 ， F y y = −2 ， F z =1. 设切点坐标为 ( , , ) 0 0 0 x y z ，则切平面的法矢量为 { 2 , 2 ,1} 0 0 − x − y ，其与已知平 面 2x + 4y − z = 0 平行，因此有
-2xo - -2yo -1124xo=1,=2，相应地有z。=x+y=5可解得故所求的切平面方程为2(x-1)+4(y-2)-(=-5)=0，即2x+4y-z=5【评注】本题属基本题型。设x2=(3)a,cosnx(元≤x≤元)，则a,=2=0【分析】将f(x)=x(-元≤×≤元)展开为余弦级数x2=a, cosnx(-元≤x≤元),nsd2元f(x)cos nxdx其系数计算公式为a，元J【详解】根据余弦级数的定义，有25"x?.cos2xdx=xdsin2xa2=x* sin 2x -J sin 2x2xd][ xdcos2x=[xcos2x - cos2xd)]=1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.β2到基β=的过渡矩阵为（4）从R2的基α4【分析】n维向量空间中，从基α,α2.,α到基β,β2.,β的过渡矩阵P满足[ββ,][α,αα，因此过渡矩阵为：[α,α,α}"{β,β…β]到基β=B.的过渡矩【详解】根据定义，从R’的基α,=阵为P-(a,or'tp.p,1-[。 TG ]
1 1 4 2 2 2 0 0 − = − = − x y ， 可解得 x0 =1, y0 = 2 ，相应地有 5. 2 0 2 z0 = x0 + y = 故所求的切平面方程为 2(x −1) + 4( y − 2) − (z − 5) = 0 ，即 2x + 4y − z = 5 . 【评注】 本题属基本题型。 （3） 设 cos ( ) 0 2 = − = x a nx x n n ，则 2 a = 1 . 【分析】将 ( ) ( ) 2 f x = x − x 展开为余弦级数 cos ( ) 0 2 = − = x a nx x n n ， 其系数计算公式为 = 0 ( ) cos 2 a f x nxdx n . 【详解】 根据余弦级数的定义，有 a x xdx x d sin 2x 1 cos 2 2 0 2 0 2 2 = = = − 0 0 2 [ sin 2 sin 2 2 ] 1 x x x xdx = = − 0 0 0 [ cos 2 cos 2 ] 1 cos 2 1 x d x x x xdx =1. 【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的 计算. （ 4 ） 从 2 R 的 基 − = = 1 1 , 0 1 1 2 到 基 = = 2 1 , 1 1 1 2 的 过 渡 矩 阵 为 −1 − 2 2 3 . 【分析】 n 维向量空间中，从基 n , , , 1 2 到基 n , , , 1 2 的过渡矩阵 P 满足 [ n , , , 1 2 ]=[ n , , , 1 2 ]P，因此过渡矩阵P为：P=[ 1 1 2 , , , ] − n [ , , , ] 1 2 n . 【详解】根据定义，从 2 R 的基 − = = 1 1 , 0 1 1 2 到基 = = 2 1 , 1 1 1 2 的过渡矩 阵为 P=[ 1 1 2 , ] − [ − = − 1 2 1 1 0 1 1 1 , ] 1 1 2
1111-6 -[3 ]【评注】本题属基本题型。（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为[6x,0≤x≤y≤1,f(x,y) =[o，其他,1则PX+Y≤1=4【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率Pig(X,Y)≤zo)，一般可转化为二重积分P(g(X,Y)≤z)=/f(x,y)dxdy进行计算g(x,y)s=o【详解】由题设，有P(X +Y≤1)= J f(x, )dxdy= fe dxf""6xdyx+ys1(6x-12x )dt - :y1o1+2【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式x+y≤1的公共部分D，再在其上积分即可.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度x(单位：cm)服从正态分布N(u,l)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40（cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49）（注：标准正态分布函数值Φ1.96)=0.975,Φ(1.645)=0.95.）【分析】已知方差。2=1，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据
= . 1 2 2 3 1 2 1 1 0 1 1 1 − − = − 【评注】 本题属基本题型。 （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ， x x y f x y 其他 0 1, 0, 6 , ( , ) = 则 P{X + Y 1} = 4 1 . 【分 析 】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度 f(x,y)，求 满足一定条 件 的 概 率 { ( , ) }0 P g X Y z ，一般可转化为二重积分 { ( , ) }0 P g X Y z = 0 ( , ) ( , ) g x y z f x y dxdy 进行计算. 【详解】 由题设，有 P{X + Y 1} = + − = 1 2 1 0 1 ( , ) 6 x y x x f x y dxdy dx xdy = . 4 1 (6 12 ) 2 1 0 2 − = x x dx y 1 D O 2 1 1 x 【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足 不等式 x + y 1 的公共部分 D，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试 卷》数学一 P.14 第一大题第（5）小题. （6）已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 N(,1) ，从中随机地抽取 16 个 零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则 的置信度为 0.95 的置信区间是 (39.51,40.49) . (注：标准正态分布函数值 (1.96) = 0.975,(1.645) = 0.95.) 【 分 析 】 已知方差 1 2 = ， 对 正 态 总体 的 数学 期 望 进 行 估计 ，可根据
x-X-~(0,1)，由P<u。=1-α确定临界值u。，进而确定相应的置信区间V22/Vnyn【详解】由题设，1-α=0.95，可见α=0.05.于是查标准正态分布表知u。=1.962X-μ<1.96)=0.95,有本题n=16，x=40，因此，根据PVYn40-μP<1.96)=0.95，即P39.51,40.49)=0.95，故μ的置信度为0.95的置信1/7/16区间是（39.51,40.49）：【评注】本题属基本题型二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在（-c0,+oo)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A）一个极小值点和两个极大值点.(B）两个极小值点和一个极大值点.(C）两个极小值点和两个极大值点.(D）三个极小值点和一个极大值点.【c]yx【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导f(x)的图象，本题是其逆问题.完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过（2）设(a,,(b,),c,)均为非负数列，且lima,=0,limb,=1,limc,=0,则必有0
~ (0,1) 1 N n X − ，由 = − − } 1 1 { 2 u n X P 确定临界值 2 u ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设， 1− = 0.95 ，可见 = 0.05. 于是查标准正态分布表知 1.96. 2 u = 本题 n=16, x = 40, 因此，根据 1.96} 0.95 1 { = − n X P ，有 1.96} 0.95 16 1 40 { = − P ，即 P{39.51,40.49} = 0.95 ，故 的置信度为 0.95 的置信 区间是 (39.51,40.49) . 【评注】 本题属基本题型. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数 f(x)在 (−,+) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] y O x 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点， 共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不存 在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点， 一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点，故 f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 【评注】 本题属新题型，类似考题 2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已 知 f(x)的图象去推导 f (x) 的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲 班上介绍过. （2）设 { },{ },{ } n n n a b c 均为非负数列，且 lim = 0 → n n a ,lim = 1 → n n b , = → n n lim c ,则必有
(A)a,<b,对任意n成立.(B）b,<C,对任意n成立.(D）极限limb,c,不存在。[D](C）极限lima,c,不存在.【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限limanC,是0·oo型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可：极限limb,c，属1.co型，必为无穷大量，即不存在.2.12,b,=1,c,=【详解】用举反例法，取a,==n(n=1,2,)，则可立即排除2(A),(B),(C)，因此正确选项为(D)【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项。完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179f(x,)-=1,则（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim0,y-0 (x2 + y2)2(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.点(0,0)是f(x,y)的极小值点(C)(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点[A]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,)是恒大于零、恒小于零还是变号,)=翌=1知，分子的极限必为零，从而有(0.)-0，且【详解】由lim，x-0,y-0 (x2 + y2)2f(x,y)-xy=(x+y)(x充分小时），于是f(x,y)- f(0,0) = xy+(x2 + y2)2可见当y=x且叫充分小时，F(x,J)-(0,0)~x2+4x>0；而当y=-×且充分小时f(x,J)-f(0,0)~-x2+4x4<0.故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A)【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新有一定难度.将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。（4）设向量组I：α,αz，,α,可由向量组II：β2，,β,线性表示，则(A）当r<s时，向量组I必线性相关(B)当r>S时，向量组I必线性相关.(C)当r<s时，向量组I必线性相关(D）当r>s时，向量组I必线性相关［D]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组1:αi,α2，,α,可由向量组II：β，ββ线性表示，则当r>S时，向量组I必线性相关.或其逆否命
(A) an bn 对任意 n 成立. (B) n n b c 对任意 n 成立. (C) 极限 n n n a c → lim 不存在. (D) 极限 n n n b c → lim 不存在. [ D ] 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除 (A),(B)； 而极限 n n n a c → lim 是 0 型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极 限 n n n b c → lim 属 1 型，必为无穷大量，即不存在. 【详解】 用举反例法，取 n an 2 = ， bn =1， ( 1,2, ) 2 1 cn = n n = ，则可立即排除 (A),(B),(C)，因此正确选项为(D). 【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完 全类似方法见《数学最后冲刺》P.179. （3）已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且 1 ( ) ( , ) lim 2 2 2 0, 0 = + − → → x y f x y xy x y ，则 (A) 点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是 f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知 f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为 f(x,y)的极值，关键看在点(0,0) 的充分小的邻域内 f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解】 由 1 ( ) ( , ) lim 2 2 2 0, 0 = + − → → x y f x y xy x y 知，分子的极限必为零，从而有 f(0,0)=0, 且 2 2 2 f (x, y) − xy (x + y ) ( x , y 充分小时），于是 ( , ) (0,0) ( ) . 2 2 2 f x y − f xy + x + y 可见当 y=x 且 x 充分小时， ( , ) (0,0) 4 0 2 4 f x y − f x + x ；而当 y= -x 且 x 充分小时， ( , ) (0,0) 4 0 2 4 f x y − f −x + x . 故点(0,0)不是 f(x,y)的极值点，应选(A). 【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新， 有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。 （4）设向量组 I： r , , , 1 2 可由向量组 II： s , , , 1 2 线性表示，则 (A) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关. [ D ] 【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组 I： r , , , 1 2 可由向量组 II： s , , , 1 2 线性表示，则当 r s 时，向量组 I 必线性相关. 或其逆否命