7跨考教育XKUAKAOEDUCATIONBornto win二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点x的极限是否存在需要判定左极限x→x和右极限x→x是否存在且相等，若相等，则函数在点x的极限是存在的1x2-1 -x-1-limer-I = lim(x+1)er-1 = 0,limex-1 = lim(x+ 1)er-1 = 00x-r x-1x→ x-1x-→>1x-→10≠80，故当x→>1时函数没有极限，也不是0.故应选(D)。(2）【答案】(C)11【解析】对原级数的通项取绝对值后，再利用等价无穷小1-cos-(n→+o0),n2n=1-cosα_ α2a-1)"(1-cos -(n→+00) ,n2nnV又因为p级数：当p>1时收敛；当p≤1时发散n=I nPla?所以有收敛7=2n?a(-1)"(1-cos收敛.所以原级数绝对收敛.应选（C)。nn=l注：对于正项级数α,，确定无穷小α,关于一的阶(即与p级数作比较)是判断它的敛散性h=in的一个常用方法，该题用的就是这个方法(3）【答案】B【解析】先求出切线的方向向量，再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的值.求曲线上的点，使该点处的切向量t与平面x+2y+z=4的法向量n=(1,2,1)垂直，即可以让切线与平面平行。曲线在任意点处的切向量t={x(t),y(),=(t)=(1,-2t,3t2),nn·T=0,即1-4t+3t3=0,解得t=1,t=，(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)3因此，只有两条这种切线，应选(B)
Born to win 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】对于函数在给定点 0 x 的极限是否存在需要判定左极限 0 x x → − 和右极限 0 x x → + 是否存在且相等,若相等,则函数在点 0 x 的极限是存在的. 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim( 1) 0 1 x x x x x e x e x − − − − → → − = + = − , 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim( 1) 1 x x x x x e x e x + + − − → → − = + = − , 0 ,故当 x →1 时函数没有极限,也不是 .故应选(D). (2)【答案】(C) 【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小 2 1 1 1 cos ( ) 2 n n n − → + , 2 2 ( 1) (1 cos ) 1 cos ( ) 2 n n n n n − − = − → + , 又因为 p 级数： 1 1 p n n = 当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散. 所以有 2 2 1 1 n 2 n = 收敛. 1 ( 1) (1 cos ) n n n = − − 收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C). 注：对于正项级数 1 n n a = ,确定无穷小 n a 关于 1 n 的阶(即与 p 级数作比较)是判断它的敛散性 的一个常用方法.该题用的就是这个方法. (3)【答案】B 【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为 0 得切点 对应的 t 值. 求曲线上的点,使该点处的切向量 与平面 x y z + + = 2 4 的法向量 n =1,2,1 垂直, 即可以让切线与平面平行. 曲线在任意点处的切向量 2 = = − x t y t z t t t ( ), ( ), ( ) 1, 2 ,3 , n n ⊥ = 0,即 3 1 4 3 0 − + = t t ,解得 1 1, 3 t t = = .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上) 因此,只有两条这种切线,应选(B)
跨煮教育KUAKAOEDUCATIOIBorntowin(4)【答案】(C)【解析】因3x处处任意阶可导，只需考查x2|x(x)，它是分段函数，x=0是连接点.所以，写成分段函数的形式，有-x,x<0,p(x) =[x, x≥0,对分段函数在对应区间上求微分，[-3x2,x<0,=p(x)=[3x2, x>0,再考查(x)在连接点x=0处的导数是否存在，需要根据左导数和右导数的定义进行讨论p(0)=(x)|x=0 =0, p(0)=(-x)r=0 =0=p(0)=0,-3x2,x≤0,即p(x)=[3x, x>0.-6x,x<0,-6x,x≤0=6|x|β"(0)=0,即 β"(x)=同理可得p(x)=6x,x>06x,x>0对于=x有(0)=1,(0)=-1.所以y=x在x=0不可导，=β"(O)不存在，应选(C)(5）【答案】（A)【解析】E，E,向量对应的分量不成比例，所以E，E,是Ax=0两个线性无关的解，故n-r(A)≥2.由n=3知r(A)≤1.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2：而(D)选项秩为3.故本题选(A)【相关知识点】对齐次线性方程组Ax=0，有定理如下：对矩阵A按列分块，有A=(α,α2，",α,），则Ax=0的向量形式为xa,+xa,+.+x,a,=0那么，Ax=0有非零解α,αz,α,线性相关r(αj,α,",α,)<n≤r(A)<n三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分.）
Born to win (4)【答案】(C) 【解析】因 3 3x 处处任意阶可导,只需考查 2 x x x | | ( ) ,它是分段函数, x = 0 是连接点. 所以,写成分段函数的形式,有 3 3 , 0, ( ) , 0, x x x x x − = 对分段函数在对应区间上求微分, 2 2 3 , 0, ( ) 3 , 0, x x x x x − = 再考查 ( ) x 在连接点 x = 0 处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论. 3 0 (0) ( ) 0 x x + + = = = , 3 0 (0) ( ) 0 (0) 0 x x − − = = − = = , 即 2 2 3 , 0, ( ) 3 , 0. x x x x x − = 同理可得 6 , 0, ( ) 6 , 0, x x x x x − = (0) 0 = ,即 6 , 0 ( ) 6 | | 6 , 0 x x x x x x − = = . 对于 y x = 有 y y (0) 1, (0) 1. + − = = − 所以 y x = 在 x = 0 不可导,(0) 不存在,应选(C). (5)【答案】(A) 【解析】 1 , 2 向量对应的分量不成比例,所以 1 , 2 是 Ax = 0 两个线性无关的解,故 n r A − ( ) 2 .由 n = 3 知 r A( ) 1 . 再看(A)选项秩为 1；(B)和(C)选项秩为 2；而(D)选项秩为 3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组 Ax = 0,有定理如下: 对矩阵 A 按列分块,有 A , , , = ( 1 2 n ) ,则 Ax = 0 的向量形式为 1 1 2 2 0 n n x x x . + + + = 那么, Ax = 0 有非零解 1 2 n , , , 线性相关 r , , , n ( 1 2 n ) r A n. ( ) 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)