极值例求函数f(x) = x3(x - 5) 的极值。2(2,+00)（0,2)x(-0,0）00S不存在A→-3.4f012
12 极值 例 求函数 � � = � 2 3 � − � 的极值
极值注极值判别法仅为充分条件，非必要条件。(x2sin=+x2,x±0,，在x=0处是否为极值？例函数f(x)X0,x=013
13 极值 注 极值判别法仅为充分条件，非必要条件。 例 函数 � � = � �𝐬� � � + � � ，� ≠ �， � ，� = � 在 � = � 处是否为极值？
极值定理（极值第二判别法）设函数f(x)在点xo 处二阶可导，且f'(xo)=0,（1）若f"(xo）>0，则xo为极小值点，f(xo）为极小值;（2）若f"(xo）<0，则xo为极大值点，f(xo）为极大值。f'(x)-f'(x0) > 0,证 仅证(1)，f"(xo)= lim fx-xox-xo由极限的保号性，在 xo 的某去心邻域上，I'cs)-t'c)f(α)>0,x-xox-xo所以，在xo 的左侧f'(x)<0，右侧f'(α)>0,由极值第一判别法的（1）即得。14
14 极值 定理（极值第二判别法） 设函数 � � 在点 �� 处二阶可导，且 � ′ �� = �， ( 1 ) 若 � ′′ �� > �，则 �� 为极小值点，� �� 为极小值； ( 2 ) 若 � ′′ �� < �，则 �� 为极大值点，� �� 为极大值。 证 仅证 ( 1 )，� ′′ �� = lim �→�� � ′ � −� ′ �� �−�� > �， 所以，在 �� 的左侧 � ′ � < �，右侧 � ′ � > �， 由极限的保号性，在 �� 的某去心邻域上， � ′ � −� ′ �� �−�� = � ′ � �−�� > �， 由极值第一判别法的 ( 1 ) 即得
极值例求函数f(x) = x2 _ 16的极值。x15
15 极值 例 求函数 � � = � � − �� � 的极值
极值例设函数y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定的二阶可导函数，求y(x）的极值。16
16 极值 例 设函数 � = � � 是由方程 �� � − �� � + ��� − � � = � 所确定的 二阶可导函数，求 � � 的极值