第三章 第五节岛数的极值与最大值、最小值 Extremum Extremes of Function) 一、复习引入 二、极值的第一充分条件 三、极值的第二充分条件 四、最值问题 五、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 1 目录○ 上页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第五节 函数的极值与最大值、最小值 第三章 四、最值问题 三、极值的第二充分条件 二、极值的第一充分条件 （Extremum & Extremes of Function） 一、复习引入 五、小结与思考练习
一、复习引入(Introduction) 1.极值定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x。是 (a,b)内的一点，如果存在x的一个邻域U(x)，对于 U(x)内的任何，点x,有 f(x)≤f(x)或f(x)≥f(x), 则称f(x)是函数f(x)的一个极大值（或极小值），点x 是(x)的一个极大值点（或极小值，点），函数的极大值、 极小值统称为极值极大值，点与极小值点统称为极值点. 2.费马(Femat)引理如果函数f(x)在，点x,可导， 而且在点x取到极值，则f'(x)=0 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、复习引入（Introduction） 1．极值定义 设函数 f ( ) x 在区间(,) a b 内有定义， 0 x 是 (,) a b 内的一点，如果存在 0 x 的一个邻域 0 U x( )，对于 0 U x( )内的任何点 x ，有 0 fx fx () ( ) ≤ 或 0 fx fx () ( ) ≥ , 则称 0 f ( ) x 是函数 f x( ) 的一个极大值（或极小值），点 0 x 是 f x( ) 的一个极大值点（或极小值点），函数的极大值、 极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点． 2．费马（Femat）引理 如果函数 f x( )在点 0 x 可导， 而且在点 0 x 取到极值，则 0 f x ′( ) 0. =
由费马引理知，驻，点(Stagnation Point),即导数为 零的点是函数可能的极值点。 除驻点外函数还有没有其他的点是可能的极值，点？ 在可能的极值，点中究竞那些点是极值点？ 是极值，点时，是极大值点还是极小值，点呢？ 研究极值到底有什么用？. 为此，这节课我们就来研究函数极值点的两个充分 条件，并在此基础上讨论最值问题！ 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 由费马引理知，驻点（Stagnation Point），即导数为 零的点是函数可能的极值点。 除驻点外函数还有没有其他的点是可能的极值点？ 在可能的极值点中究竟哪些点是极值点？ 是极值点时，是极大值点还是极小值点呢？ 研究极值到底有什么用？. 为此，这节课我们就来研究函数极值点的两个充分 条件，并在此基础上讨论最值问题！
二、第一充分条件(The First Sufficient Condition) 定理1（第一充分条件)设函数f(x)在，点x,的某个邻 域U(x,6)内连续，在去心邻域U(x,6)内可导. (1)若x∈(x-6,x)时，f'(x)>0,(f'(x)<0) 而x∈(x,x+)时，f'(x)<0,(f'(x)>0) 则函数f(x)在点x,处取得极大值；（极小值） (2)若x∈U(x,6)时，f'(x)的符号保持不变， 则，点x不是f(x)的极值点. 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 二、第一充分条件（The First Sufficient Condition） 定理 1（第一充分条件） 设函数 f ( ) x 在点 0 x 的某个邻 域 0 U x( ,) δ 内连续，在去心邻域 o 0 U x( ,) δ 内可导． （1）若 0 0 x∈ − ( ,) x x δ 时， f x ′() 0 > ， 而 0 0 x xx ∈ + (, ) δ 时， f x ′() 0 < ， 则函数 f ( ) x 在点 0 x 处取得极大值； ( ( ) 0) f x ′ < ( ( ) 0) f x ′ > （极小值） （2）若 o 0 x Ux ∈ ( ,) δ 时， f ′( ) x 的符号保持不变， 则点 0 x 不是 f ( ) x 的极值点．
0 (是极值，点情形) Xo (不是极值，点情 形) 2009年7月3日星期五 5 上页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 x y o x y x0 o 0 x + − − + （是极值点情形） x y o x y o 0 x 0 x + − − + （不是极值点情 形）