第二章 第一节导数概念 (The Concept of Derivative) 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、小结与思考题 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 第一节 导数概念 第二章 三、导数的几何意义 二、导数的定义 一、引 例 四、函数的可导性与连续性的关系 五、小结与思考题 （The Concept of Derivative ）
一、引例(Introduction) O 1.变速直线运动的速度 设描述质，点运动位置的函数为 s=f(t) 则to到t的平均速度为 i-I()-S(to) 自由落体运动 t-to s=g12 而在t,时刻的瞬时速度为 (to) v=lim ∫()-f() 0 to t→o t-to 2009年7月3日星期五 3 目录 上页>下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 一、引 例 （Introduction ） 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 s = f t)( 0 t 则 到 的平均速度为 0 t t v = )()( 0 f t − f t 0 t − t 而在 时刻的瞬时速度为 0 t 0 lim t t v → = 0 f () ( ) t ft − 0 t t − 1 2 2 s gt = s o )( 0tf tf )( t 自由落体运动
2.曲线的切线斜率 y=f(x)/ 曲线C:y=f(x)在M点处的切线 割线MN的极限位置MT (当0→时) xx 切线MT的斜率 k =tana lim tan 0→ 割线MW的斜率tan0=)-fo) x-x0 k=lim f(x)-f(x.) x→x0 x-Xo 2009年7月3日星期五 4 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 曲线 C y = f x)(: 割线 M N 的极限位置 M T 在 M 点处的切线 (当 时 ϕ → α ) 2. 曲线的切线斜率 x y o = xfy )( C α ϕ N T 0 x M x 割线 M N 的斜率 tan ϕ = )()( 0 f x − f x 0 − xx 切线 MT 的斜率 k = tan α ϕ αϕ tanlim→ = 0 lim x x k → = 0 f () ( ) x fx − 0 x x −
f(to) 瞬时速度v=lim f(t)-f() t→to t-to y=f(x 切线斜率k=lim f(x)-f(xo) X→X0 x-x0 M 两个问题的共性： X 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有： 加速度是速度增量与时间增量之比的极限 角速度是转角增量与时间增量之比的极限 线密度是质量增量与长度增量之比的极限 化率问题 电流强度是电量增量与时间增量之比的极限 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 s o 0 t )( 0tf tf )( 瞬时速度 t lim0tt v → = )()( 0 f t − f t 0 t − t 切线斜率 x y o = xfy )( C α ϕ N T 0 x M x lim0xx k → = )()( 0 f x − f x 0 − xx 两个问题的共性: 所求量为函数增量 与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量 与时间增量之比的极限 角速度 线密度 电流强度 是转角增量 与时间增量之比的极限 是质量增量 与长度增量之比的极限 是电量增量 与时间增量之比的极限 变化率问题
二、导数的定义(Definition of Derivatives) 1.函数在一点的导数与导函数 定义1设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义 若 y limf)-fx,）=limA △y=f(x)-f(x) X→x0 x-xo △x0△X △X=x-Xo 存在，则称函数f(x)在，点x处可导，并称此极限为 y=f(x)在点xo的导数.记作： dy yx=0；∫'(xo)；dxx=x0 df(x) dxx=xo 即yx=0=f'(xo)=limA9 Ax→0△X lim f(o+Ax)-f(xo) lim f(xo+h)-f(xo) △x-→0 △x -→0 h 2009年7月3日星期五 6 目录 、上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 二、导数的定义 （Definition of Derivatives ） 1. 函数在一点的导数与导函数. 定义 1 设函数 = xfy )( 在点 0 x 0 limx → x 0 0 f () ( ) x fx x x − − 0 limx y Δ → x Δ = Δ )()( 0 Δ = − xfxfy 0 Δ = − xxx 存在, xf )( 并称此极限为 = xfy )( 记作: ; 0xx y = ′ ;)( 0 f ′ x ; d d 0 x xx y = d 0 )(d x xx f x = 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 0 x 处可导, 在点 0 x 的导数. 0xx y = ′ )( 0 = f ′ x 0 limx y Δ → x Δ = Δ x f x x f x x Δ + Δ − = →Δ )()( lim 0 0 0 h f x h f x h )()( lim 0 0 0 + − = → 即