第一章 第九节连续岛数的运算 与初等岛数的连续性 一、连续函数的四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结与思考题 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 第一章 三、初等函数的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 一、连续函数的四则运算的连续性 四、小结与思考题
一、连续函数的四则运算的连续性 定理1如果函数f(x)和g(x)均在，点x连续，则它们 的和（差）x)±8(x)、积f)g(x)、以及商 8(x) (g(x)≠0)都在点x连续. 例如，函数y=Sinx、y=cosx都在区间(-0，+o)内连 续，则y=Sinx+cosx、y=sinx·cosx在区间(-oo,+oo) 内连续，y=tanx=snX在x≠kr+无处连续. coSx 2 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、连续函数的四则运算的连续性 定理 1 如果函数 f ( ) x 和 g( ) x 均在点 0 x 连续，则它们 的和（差） f () () x gx ± 、 积 f () () x gx ⋅ 、以及 商 ( ) ( ) f x g x （ 0 g x()0 ≠ ）都在点 0 x 连续． 例如，函数 y x = sin 、 y x = cos 都在区间(,) −∞ +∞ 内连 续，则 yxx = + sin cos 、y xx = sin cos ⋅ 在区间(,) −∞ +∞ 内连续， sin tan cos x y x x = = 在 2 x k π ≠ + π 处连续．
二、反函数与复合函数的连续性 定理2如果函数y=f(x)在区间I,上单调增加 (或单调减少)且连续，那么它的反函数x=(y)也在 对应的区间I,={y川y=f(x),x∈I}上单调增加（或单 调减少)且连续. 例如，因为函数y=Cosx在区间[0，π上单调减少 且连续，所以它的反函数y=arccosx在闭区间[-1,1]上 也是单调减少且连续的. 同理可知其它的反三角函数在各自的定义域内都 是单调且连续的 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 定理 2 如果函数 y ＝ f ( ) x 在区间 x I 上单调增加 （或单调减少）且连续，那么它的反函数 x y = φ( ) 也在 对应的区间 I y y x == ∈ { | ( ), y f xx I } 上单调增加（或单 调减少）且连续． 例如，因为函数 y x cos 二、反函数与复合函数的连续性 = 在区间[0, π ] 上单调减少 且连续，所以它的反函数 y x = arccos 在闭区间[ 1,1] − 上 也是单调减少且连续的． 同理可知 其它的反三角函数在各自的定义域内 都 是单调且连续的．
定理3 设函数y=f[g(x)](其中x∈D)由函数y=f(u) 与函数u=g(x)复合而成，去心邻域U(x)cD.若 limg(x)=u,而函数y=f(u)在u=山，连续，那么当x趋 于x时，函数y=f[g(x)]的极限存在且等于f(u),即 mf儿8(x]=limf(u)=f4,)=fIim8(x》. 定理4设函数y=f[g(x)](其中x∈D)是由函数y=f(w) 与函数u=g(x)复合而成，U(x)CD.若函数u=g(x)在 x=x连续，且g(x)=4,而函数y=f(0在点u=4连续， 那么复合函数y=f[g(x)]在x=x也连续.即 Iimf儿&(=fa,)=fmgw) 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 定理 3 设函数 y f gx = [ ( ) ] (其中 x ∈ D )由函数 y f = ( ) u 与函数 u gx = ( ) 复合而成， 去心邻域 0 ( ) o Ux D ⊂ . 若 0 0 lim ( ) x x gx u → = ，而函数 y fu = ( ) 在 0 u u = 连续，那么当 x 趋 于 0 x 时，函数 y f gx = [ ( ) ] 的极限存在且等于 0 f ( ) u ，即 [ ] 0 0 0 0 lim li ( ) m () () (lim ( ) ) x x u u x x f f g x x g u f u f → → → = = = ． 定理 4 设函数 y f = [ g( ) x ] (其中 x D ∈ )是由函数 y fu = ( ) 与函数 u gx = ( ) 复合而成， 0 Ux D ( ) ⊂ ．若函数 u gx = ( ) 在 0 x x = 连续，且 0 0 g( ) x u = ，而函数 y fu = ( ) 在点 0 u u = 连续， 那么复合函数 y f = [ g( ) x ] 在 0 x x = 也连续．即 [ ] 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) x x x x f gx f f u g x → → = =
例1求lim, sin 2x 2 x-→0 X 提示：(1)lim sinx-1 sinx x→0 2高数y2 sin2x 可看成是由y=√2-u和 u= in2x复合而成的。 X 注意：熟练后本题可以写为 sin2x sin 2x x =√2-2=0 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 例 1 求 0 sin 2 lim 2 x x → x − ． 提示： （ 1 ） 0 sin limx x → x ＝1 （ 2）函数 sin 2 2 x y x = − 可看成是由 y = 2 − u 和 sin 2 x u x = 复合而成的。 注意： 熟练后本题可以写为 0 sin 2 lim 2 x x → x − 0 0 li sin lim 2 m 2 x x x → → x = − = 22 0 − =