第二章 第二节 品数的求导法则 (The Rule of Derivation) 一、问题的提出 二、函数的和、差、积、商的求导法则 三、反函数的求导法则 四、复合函数的求导法则 五、小结与思考题 2009年7月3日星期五 1 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第二节 函数的求导法则 第二章 三、反函数的求导法则 二、函数的和、差、积、商的求导法则 一、问题的提出 四、复合函数的求导法则 五、小结与思考题 （The Rule of Derivation ）
一、问题的提出(Introduction) 1.导数的定义 f()=lim f(x)-f( △y=f(x)-f(x) X→x0 x-Xo △x=X-X0 lim 4 △x→0△X lim f(xo+Ax)-f(xo) △x→0 △x =lim-f(xo) h-→0 h 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、问题的提出 （Introduction ） 1. 导数的定义 0xx y = ′ )( 0 = f ′ x 0 0 0 () ( ) lim x x f x fx → x x − = − )()( 0 Δ = − xfxfy 0 Δ = − xxx 0 limx y Δ → x Δ = Δ 0 0 0 ( ) () limx f x x fx Δ → x + Δ − = Δ 0 0 0 ( ) () limh f x h f x → h + − =
2.利用导数的定义得出以下导数公式： (1)(C)'=0 (2)(x)'=-sinx (3)(sinx)'=cosx (4)(cosx)'=-sinx (5)(a)'=alna(a>0,a≠1) (6)(e)'=e (7)(h (8)(nx'= X 2009年7月3日星期五 3 目录○ 上页)下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 2. 利用导数的定义得出以下导数公式： （3） (sin ) cos x ′ = x （4） (cos ) sin x ′ = − x ( ) ln ( 0, 1) x x （5） a aaa a ′ = >≠ (e ) e x x （6） ′ = 1 (log ) ( 0, 1) ln a x aa x a （7） ′ = > ≠ 1 (ln ) x x （8） ′ = （1） () 0 C ′ = ( ) sin x x μ （2） ′ = −
但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它 们的导数往往很困难. 例如，求下列函数的极限： (1)y=x3+a+2c0sx; (2)y=arctanx (3)y=e2x; (4)y=xa+a+a(a>0) 为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！ 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它 们的导数往往很困难. 例如，求下列函数的极限： （ 1 ） 3 2cos x yx a x =++ ； （ 2 ） y x = arctan ； （ 3 ） 1 2 e x y + = ； （ 4 ） ( 0) aax axa yx a a a = ++ > 为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！
二、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1函数W=u(x)及v=v(x)都在x具有导数 >u(x)及v(x)的和、差、积、商（除分母 为0的点外)都在，点x可导，且 (I)[u(x)±v(x)]'=t'(x)士v'(x) (2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) u(x)v(x)-u(x)v(x) (v(x)≠0) v2(x) 下面分三部分加以证明，并同时给出相应的推论和 例题 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 二、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1 函数 = 及 = )()( 都在 xxvvxuu 具有导数 及 xvxu )()( 的和、差、积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 ± ′ = ′ ± ′ xvxuxvxu )()(])()([)1( ′ = ′ + ′ xvxuxvxuxvxu )()()()(])()([)2( )( )()()()( )( )( )3( 2 xv xvxuxvxu xv xu ′ − ′ =′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . xv ≠ )0)((