第三章 第四节函数的单调性 与曲孩的凹凸性 Monotonicity of Function Concavity and Convexity of Curve) 一、函数单调性的判定法 二、函数的凹凸性及拐点 三、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 1 目录 上页 、返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性 第三章 三、小结与思考练习 二、 函数的凹凸性及拐点 一、函数单调性的判定法 （Monotonicity of Function & Concavity and Convexity of Curve）
一、函数单调性的判定法 y=f(x) y=f(x) B 0 f'(x)≥0 f'(x)≤0 定理1（函数单调性的判定法）设函数y=f(x)在 [a,b]上连续，在(a,b)内可导.（1)如果在(a,b)内， f'(x)≥0，则y=f(x)在[a,b]上单调增加；（2)如果在 (a,b)内，f'(x)≤0，则y=f(x)在[a,b]上单调减少. 说明：本定理可利用拉格朗日定理证明 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、函数单调性的判定法 定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y fx = ( ) 在 [,] a b 上连续,在 (,) a b 内可导．（1）如果在 ( ) a b, 内， f x ′() 0 ≥ ，则 y fx = ( ) 在[,] a b 上单调增加；（2）如果在 ( ) a b, 内， f x ′() 0 ≤ ，则 y fx = ( ) 在[,] a b 上单调减少． x y o = fy x)( x y o = fy x)( a b A B f ′ x ≥ 0)( f ′ x ≤ 0)( a b B A 说明：本定理可利用拉格朗日定理证明
1.利用导数来判定函数的单调性 例1讨论函数f(x)=x3-3x2-9x+5的单调性. (课本例2) 解：这个函数的定义域为(-0，+0). 而f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) 在(-0，-1)和(3，+∞)内，f'(x)>0,所以函数f(x) 在(-0，-1]和[3，+0)内单调增加. 在(-1,3)内，f'(x)<0,所以函数f(x)在[-1,3]内 单调减少 2009年7月3日星期五 3 目录 上页( 、返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 例 1 讨论函数 3 2 fx x x x () 3 9 5 = − −+ 的单调性． （课本 例 2） 解： 这个函数的定义域为(,) 1. 利用导数来判定函数的单调性 −∞ +∞ ． 而 2 fx x x x x ′( ) 3 6 9 3( 1)( 3) = − −= + − 在( , 1) −∞ − 和(3, ) +∞ 内， f x ′() 0 > ，所以函数 f x( ) 在( , 1] −∞ − 和[3, ) +∞ 内单调增加． 在( 1,3) − 内， f x ′() 0 < ，所以函数 f ( ) x 在[ 1,3] − 内 单调减少．
例2讨论函数y=x2的单调性.（课本例3) 解：D:(-o,十∞). f'(x)= 2 3x’ (x≠0) y=Vx2 当x=0时，导数不存在. 当-o0<x<0时，f'(x)<0,.(-0,0]上单调减少； 当0<x<+0时，f'(x)>0,.[0,+o]上单调增加； 单调区间为(-0,0，[0，+o). 注意：学习课本例3与例4之间的一段话 2009年7月3日星期五 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 解：∵ D +∞−∞ ).,(: )0(, 3 2 )( 3 ′ = x ≠ x xf 3 2 = xy 例 2 讨论函数 3 2 y = x 的单调性．（课本 例 3） 当 x = 0 时，导数不存在． 当−∞< <x 0 时， f x ′() 0 < ，∴ ( ,0] −∞ 上单调减少； 当0 < x < +∞ 时， f x ′() 0 > ，∴[0, ] +∞ 上单调增加； 单调区间为 −∞ ]0,( ， +∞).,0[ 注意：学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例3确定函数f(x)=(2x-5)x2的单调区间. (课本例4) 基本步骤： (1)确定定义区间； (2)求函数f(x)的导数； (3)找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点； (4)以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分 成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符 号，进而确定单调区间。 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 例 3 确定函数 3 2 f ( ) (2 5) xx x = − 的单调区间． （课本 例 4） 基本步骤： （1）确定定义区间； （2）求函数f ( x )的导数； （3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点； （4）以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分 成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符 号，进而确定单调区间