第二章 第三节高所导数 Derivative of Higher Order 一、基本求导法则与导数公式复习 二、高阶导数的定义 三、一些常见函数的高阶导数公式 四、高阶导数的运算法则 五、本章小结与思考题 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第三节 高阶导数 第二章 三、一些常见函数的高阶导数公式 二、高阶导数的定义 一、基本求导法则与导数公式复习 四、高阶导数的运算法则 （ Derivative of Higher Order ） 五、本章小结与思考题
一、 基本求导法则与导数公式复习 1.常数和基本初等函数的导数 (C)'=0 (x“)y=x- (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tanx)'=sec2x (cotx)'=-cscx (secx)'=secxtanx (cscx)'=-cscx cotx (a*)'=a*Ina (ex)'=ex (o xIna (Inx)'= x (arcsinx)= 1-x2 (arccosx)'= 1- 1 (arctanx)'= 1+r2 (arccotx)'=- 1+x 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、基本求导法则与导数公式复习 1. 常数和基本初等函数的导数 C)( ′ = 0 )( ′ = μ x μ − 1 μ x x)(sin ′ = cos x x)(cos ′ = −sin x x)(tan ′ = x 2 sec t x)(co ′ = 2 −csc x x)(sec ′ = tansec xx x)(csc ′ = −csc cot x x )( ′ = x a aax ln )( ′ = x e x e g a x)(lo ′ = x ln a 1 x)(ln ′ = x 1 x)(arcsin ′ = 2 1 1 − x x)(arccos ′ = 2 1 1 x − − x)(arctan ′ = 2 1 1 + x x)cot(arc ′ = 2 1 1 x − +
2.函数的和、差、积、商的求导法则 (u±v)'='±v' (Cu)'=CW'(C为常数) (uv)'=u'v +uv' (=-m (v≠0) 3.反函数的求导法则 设y=f(x)为x=-(y)的反函数，f(y)在的某邻域 单调可导，且[f(y川≠0，则f'"(x)= 1 [f-(y] 4.复合函数求导法则 y=f(u),u=p(x) dydy du dx du dx =f'(u)p'(x 5.初等函数在定义区间内可导，且导数仍为初等函数 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 ± vu )( ′ = ′ ± vu ′ uC )( ′ = uC ′ vu )( ′ = ′ + vuvu ′ ( ) =′ v u 2 v ′ − vuvu ′ ( C为常数 ) v ≠ )0( 3. 反函数的求导法则 单调可导, ,)()( 设 = 为 = − 1 yfxxfy 的反函数 1 fy y ( ) − 在 的某 邻 域 1 [ ( )] 0 f y − 且 ′ ≠ ， 则 ′ xf )( = 1 ])([ 1 ′ − yf 4. 复合函数求导法则 = = ϕ xuufy )(,)( = x y d d = ′ ⋅ϕ′ xuf )()( u y d d x u d d ⋅ 5. 初等函数在定义区间内可导 , 且导数仍为初等函数
x+1-V√x-1 例1y= 求y.(习题2-27(9)) Vx+1+/x-1 解：y= x-2Nx2-1 =x-Vx2-1 21 .y'=1- ·(2x)=1- 2Wx2-1 Vx2-1 例2 设y=2 arctan1++n1+2+l 41+x2-1 ,求y (补充题) (解答见下页) 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 求 解 : , 11 11 −++ −−+ = xx xx y y′ . 2 122 2 −− = xx ∵ y 1 2 xx −−= ∴ y′ = 1 12 1 2 − − x ⋅ x)2( 1 1 2 − −= x x 例 1 （习题 2 －2 7 （ 9 ） ） 例 2 设 , 求 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 −+ ++ = ++ x x y x y′. （补充题） （解答见下页）
3说ctna I,n0++l 4 Vi+x-1 求 1 1 解：y=21+N+x+ X 1 (2x+x3)W1+x2 2009年7月3日星期五 5 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 ,求 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 −+ ++ = ++ x x y x y′. 解 : y′ = 22 )1(1 1 2 1 ++ x 2 1 x x + ⋅ )11ln()11ln( 2 2 x x −+−++ ( 11 1 4 1 2 ++ + x 2 1 x x + ⋅ 11 1 2 −+ − x ) 2 1 x x + ⋅ ( 2 1 2 1 x x + = 2 2 1 + x ) 2 1 x − 3 2 1)2( 1 ++ xxx − = 例 2 设