第二章 第四节隐函数及由参数方程 所确定的品激的导数 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题 2009年7月6日星期一 1 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第四节 隐函数 及由参数方程 所确定的函数的导数 第二章 三、相关变化率 二、由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 四、小结与思考题
一、 隐函数的导数(Derivative of Implicit Function) 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数，则称此 函数为隐函数. 由y=∫(x)表示的函数，称为显函数 例如，x-y3-1=0可确定显函数y=1-x y3+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数， 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法：F(x,y)=0 两边对x求导 d F(xy)=0(含导数y'的方程) dx 2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、隐函数的导数 （Derivative of Implicit Function ） 3 = 1 − xy 若由方程 xF y = 0),( 由 x)( 可确定 y 是 x 的函数 , y = f 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 01 3 yx =−− 032 5 7 xxyy =−−+ 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法 : F x y = 0),( 0),( d d yxF = x 两边对 x 求导 (含导数 的方程 y ′ )
例1求由方程y+2y-x-3x7=0确定的隐函数 y=()在x=0处的导教d少 dxx=0 解：方程两边对x求导 05+2y-x-3x)=0 dx 得 5y4dy+2dy-1-21x6=0 dx dx dy_1+21x6 dx 5y4+2 因x=0时y=0,故 dy 1 x=0-2 2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回 032 5 7 xxyy =−−+ y = y x)( 在 x = 0 处的导数 . d 0 d x x = y 解 : 方程两边对 x 求导 )32( =−−+ d d 5 7 xxyy x 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 − 1 6 − 21 x = 0 25 211 d d 4 6 + + ∴ = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 2 1 d 0 d = x x = y 0 例 1 求由方程 确定的隐函数
例2求椭圆 + 169 =1在点(2，号3)处的切线方程 解：椭圆方程两边对x求导 x.2 8+gx-0 9x 3 yx=2 x=2 16yy=33 4 y=3 这切线方程为)3用 (x-2) 即 √3x+4y-8W3=0 2009年7月6日星期一 4 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回 1 916 22 =+ yx 在点 )3,2( 2 3 处的切线方程. 解 : 椭圆方程两边对 x 求导 8 x ⋅+ yy ′ 9 2 = 0 ∴ y′ 2 3 2 3 = = x y y x 16 9 −= 2 3 2 3 = = x y 4 3 −= 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 −= x − )2( 即 + yx − = 03843 例 2 求椭圆
例3求y=xnx(x>0)的导数 解：两边取对数，化为隐式 Iny sinx.Inx 两边对x求导 c0x:xi =xsin(cosx.Inxsinx 2009年7月6日星期一 5 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 返回 )0( sin xxy >= x 的导数 . 解 : 两边取对数 , 化为隐式 y = ⋅lnsinln xx 两边对 x 求导 y y ′ 1 = ⋅lncos xx x sin x + ) sin lncos( sin x x xxxy x ∴ ′ = +⋅ 例 3 求