第一章 第七节无穷小的比穀 为什么要研究“无穷小的比较”？（老师解释） 本节内容提要： 一、无穷小的比较的定义 二、无穷小的比较的性质及应用 三、本节小结及思考练习 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第七节 无穷小的比较 第一章 为什么要研究 “无穷小的比较 ” ？（老师解释） 本节内容提要： 一、无穷小的比较的定义 二、无穷小的比较的性质及应用 三、本节小结及思考练习
一、无穷小的比较 定义设，B是自变量同一变化过程中的无穷小， 若1imP-0,则称B是比a高阶的无穷小，记作 O B=o(a) 若1m巳=o,则称B是比&低阶的无穷小； 多 若lim =C≠0，则称B是的同阶无穷小； 若lim B =C≠0，则称B是关于α的k阶无穷小； 若1imB=l,则称B是a的等价无穷小，记作a~B C 或B~a 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 lim C ≠= ,0 k α β = ,0limα β 若 则称 β 是比 α 高阶的无穷小 , β = o α)( ∞= ,limα β 若 若 若 = ,1limα β 若 β ~ α α ~ β lim C ≠= ,0 α β 或 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小 , 记作 定义 则称 β 是比 α 低阶的无穷小 ; 则称 β 是 α 的同阶无穷小 ; 则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小 ; 则称 β 是 α 的等价无穷小 , 记作 一、无穷小的比较
例如，当x→0时 x3=0(6x2);sinx~x; tanx ~x arcsinx~x 又如， 1-cosx =lim 2sin2 lim 1 x-→0 x2 x→0 4(5) 2 故x→0时1-C0sx是关于x的二阶无穷小，且 1-cosxx2 2009年7月3日星期五 3 目录 、上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 = o )( ～ 3 x → 0 时 x 2 6 x sin; x x tan; x ～ x arcsin x ～ x 2 0 cos1 lim x x x − → 2 2 0 sin2 lim x x → = 又如 ， 2 2)(4 x 2 1 = 故 x → 0 时 − cos1 x 是关于 x 的二阶无穷小 , − cos1 x 2 2 1 ～ x 且 例如 , 当
例1证明：当x→0时，/1+x-1~二x n 证：1im+x-】 x>0 Lx a”-b”=(a-b)(a"+an-2b+.+bml) (1+x)”-1 lim x→0 ax[(1+x)y”-1+(1+x)”-2++1] =1 当x→0时，1+x-1~1x n 2009年7月3日星期五 4 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 x → 0 时 , + −11 n x ～ x n 1 证 : lim x → 0 + −11 n x x n 1 0 lim → = x ( ) −+ 11 n n x x n 1 [ ( ) 1 1 − + n n x ( ) 2 1 − ++ n n x + " + 1 ] = 1 ∴ x → 时当 ,0 + −11 n x ～ x n 1 − = nn ba − ba )( 1 ( n − a ban − 2 + ) − 1 ++ n " b 例1 证明: 当
二、等价无穷小的性质及应用 定理1a~B,一B=a+o(a) 证：a~B,一limB=l 一1im(g-1)=0,即limB-“=0 =B-a=o(a),即阝=a+o(a) 例如，x→0时，sinx~x,tanx~x,故 x→0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x) 2009年7月3日星期五 5 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 二、等价无穷小的性质及应用 定理 1 α ～ β β = α + o α)( 证 : α ～ =1limα β =− ,0)1lim(α β lim = 0 − α β α 即 β − α = o α ,)( 即 β = α + o α)( β 例如 , x → 时,0 ～xx ,sin ～xx ,tan 故 x → 时,0 sin = + xoxx ,)( tan = + xoxx )(