第二章 极限与连续一一函数的极限
第二章 极限与连续 ―—函数的极限
海因定理函数极限的定义（1）问题：回顾：数列(a,）的极限回答的是，当自变量n沿x轴正向无限远离原点时，其一般项a，=f(n）是否有统一的趋势而lima,=A 指的是：对于数A 的任何一个邻域U(A,)，n-o0总能找到自变量的一个取值N，当自变量大于这个值时a,=f(n)全都落在A的邻域U(A,)中
函数极限的定义 海因定理 （1）问题： 回顾：数列 的极限回答的是， 而 指的是： 是否有统一的趋势 ？ 其一般项 总能找到自变量的一个取值 ， 全都落在 的邻域 中。 当自变量 沿 轴正向无限远离 原点时， 对于数 的任何一个邻域 ， 当自变量大于这个值时
函数的极限和数列的极限应该具有一致的内涵：当自变量沿x轴正向无限远离原点时，函数值f(x）是否有统一的趋势。而limf(x)=A与lima,=A 也具有相同的含义，X>+→即对于数A的任何一个邻域U(A,ε)，总能找到自变量的一个取值X，当自变量大于这个值时，函数值f(x）全都落在A的邻域U(A,ε）中
函数的极限和数列的极限应该具有一致的内涵： 当自变量 沿 轴正向无限远离原点时， 而 与 也具有相同的含义， 即对于数 的任何一个邻域 ， 当自变量大于这个值时，函数值 全都落在 的邻域 中。 函数值 是否有统一的趋势。 总能找到自变量的一个取值
(1) lim f(x)= A 的数学定义:X>+oVε>0,3XeR,Vx:x>X 时,If(x)-AK8。若考虑自变量沿轴负向无限远离原点时，函数值f（x）的趋势，就有(2) lim f(x)= A 的数学定义：Vε>0,3XeR,Vx:x<X 时,Lf(x)-A<8
（ 1） 的数学定义： ， ， 时， 。 若考虑自变量沿 轴负向无限远离原点时，函数值 的趋势， （2） 的数学定义： ， ， 时， 。 就有
若考虑自变量无限远离原点时，函数值f（x）的趋势，就有(3) limf(x)=A 的数学定义：x>V>0,X>0,Vx:x>X时, Lf(x)-A<。直观上易见，也不难证明：lim f(x)=A lim f(x)= A 且 lim f(x)= A
若考虑 自变量无限远离原点时，函数值 的趋势， （3） 的数学定义： ， ， 时， 。 直观上易见，也不难证明 ： 且 。 就有