第十章双线性函数与辛空间s1线性函数定义1设V是数域P上的一个线性空间，是V到P的一个映射，如果「满足1) f(α+β)=f(α)+ f(β);2) f(kα)=kf(α),式中α,β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数从定义可推出线性函数的以下简单性质：1.设f是V上的线性函数，则f(O)=0,f(-α)=-f(α)2.如果β是α1,α2，,α,的线性组合：β=k,a,+kα2 +.+k,a,那么f(β)=kf(α)+k,f(α,)+..+kf(α,)例1设a,a2"a,是P中任意数，X=(x,x2",x）是P"中的向量.函数(1)f(X)= f(x,X2,",x,)=ax +a,x, +.+a,x就是P上的一个线性函数.当a,=αz=.…=a,=0时，得f(X)=0,称为零函数，仍用0表示零函数实际上，P"上的任意一个线性函数都可以表成这种形式令8,=(0，.,01,0,…,0)，i=1,2，,n（第i个分量为1，其余分量皆为0)P"中任一向量X=(x,X2",x)可表成X=X6)+X2e2 +..+X.en
第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义 1 设 V 是数域 P 上的一个线性空间， f 是 V 到 P 的一个映射，如 果 f 满足 1） f ( + ) = f () + f ( ) ; 2） f (k) = kf (), 式中 , 是 V 中任意元素， k 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设 f 是 V 上的线性函数，则 f (0) = 0, f (−) = − f () . 2. 如果 是 s , , , 1 2 的线性组合： s s = k11 + k2 2 ++ k 那么 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 s s f = k f + k f ++ k f 例 1 设 a a an , , , 1 2 是 P 中任意数， ( , , , ) 1 2 n X = x x x 是 n P 中的向量.函 数 n n n f X = f x x x = a x + a x ++ a x 1 2 1 1 2 2 ( ) ( , , , ) (1) 就是 P 上的一个线性函数.当 a1 = a2 == an = 0 时，得 f (X ) = 0 ,称为零函 数，仍用 0 表示零函数. 实际上， n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 i = (0 , ,0,1, 0, ,0), i =1, 2 , , n ( 第 i 个分量为 1，其余分量皆为 0) n P 中任一向量 ( , , , ) 1 2 n X = x x x 可表成 n n X = x + x ++ x 1 1 2 2
设f是P"上一个线性函数，则f(X)=(Zx,6)=>Exf(8,)i=li=l令a, = f(8,),i=1,2,.*,n,则f(X)=a,x,+a,x,+..+a,xn就是上述形式例2A是数域P上一个n级矩阵，设(auaina12..a21a22..a2nA=::+.(anlan2am则A的迹Tr(A)=ai. +a22 +...+amm是P上全体n级矩阵构成的线性空间Pmx上的一个线性函数例3设V=P[x],t是P中一个取定的数.定义P[x]上的函数L,为L,(P(x) = p(t), p(x) e P[x],即 L,(p(x)为p(x)在t点的值，L,(p(x)是P[x)上的线性函数如果V是数域P上一个n维线性空间.取定V的一组基s,32",..对V上任意线性函数f及V中任意向量α：a=X8+X262+..+X,on都有F(α)= f(Zx,8)=)Zxf(e)(2)
设 f 是 n P 上一个线性函数，则 = = = = n i i i n i i i f X f x x f 1 1 ( ) ( ) ( ) 令 a f ( ), i 1 2 n , i = i = ，， 则 n n f X = a x + a x ++ a x 1 1 2 2 ( ) 就是上述形式. 例 2 A 是数域 P 上一个 n 级矩阵，设 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 , 则 A 的迹 Tr A = a11 + a22 ++ ann ( ) 是 P 上全体 n 级矩阵构成的线性空间 n n P 上的一个线性函数. 例 3 设 V = P[x],t 是 P 中一个取定的数.定义 P[x] 上的函数 Lt 为 L (P(x)) p(t) , p(x) P[x] t = , 即 L ( p(x)) t 为 p(x) 在 t 点的值， L ( p(x)) t 是 P[x] 上的线性函数. 如果 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间.取定 V 的一组基 n , , , 1 2 .对 V 上任意线性函数 f 及 V 中任意向量 ： n n = x + x ++ x 1 1 2 2 都有 = = = = n i i i n i i i f f x x f 1 1 () ( ) ( ) . (2)
因此，f(α)由f(s,),f(s,),,f(s,)的值唯一确定.反之，任给P中n个数aj,az,",a,，用下式定义V上一个函数f：(2x6,)=ax,-.i=li=l这是一个线性函数，并且f(c,)=a,i=1,2,,n因此有定理1设V是P上一个n维线性空间，j,62，,6,是V的一组基，aj,az,",a,是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f(6,)=a,i=1,2,",n
因此， f () 由 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n f f f 的值唯一确定.反之，任给 P 中 n 个数 a a an , , , 1 2 ，用下式定义 V 上一个函数 f ： = = = n i i i n i i i f x a x 1 1 ( ) . 这是一个线性函数，并且 f ( i ) = ai ,i =1, 2, ,n 因此有 定理 1 设 V 是 P 上一个 n 维线性空间， n , , , 1 2 是 V 的一组基， a a an , , , 1 2 是 P 中任意 n 个数，存在唯一的 V 上线性函数 f 使 f ( i ) = ai ,i =1, 2, ,n
S2对偶空间设V是数域P上一个n维线性空间.V上全体线性函数组成的集合记作L(V,P).可以用自然的方法在L(V,P)上定义加法和数量乘法设f.g是V的两个线性函数.定义函数f+g如下：(f+g)α= f(α)+g(α), αeVf+g也是线性函数：(f +g)(α+β)=f(α+β)+g(α+β)= f(α)+f(β)+g(α)+g(β)=(f +g)(α)+(f +g)(β),(f + g)(kα) = f(kα)+ g(kα)=kf(α)+kg(α)= k(f +g)(α)f+g称为与g的和还可以定义数量乘法.设f是V上线性函数，对于P中任意数k，定义函数kf如下：(kf)(α)= k(f(α) , αeV,kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，L(V,P)成为数域P上的线性空间取定V的一组基1,82,,6n，作V上n个线性函数fi,f2，,f，使得[1, j=t, i, j=1,2,,n.(1)f.(8)) =[o,j+i因为f,在基sj,82，",8,上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V中向量α=xxe，有i=l(2)f,(α)= x
§2 对偶空间 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记 作 L(V,P) .可以用自然的方法在 L(V,P) 上定义加法和数量乘法. 设 f , g 是 V 的两个线性函数.定义函数 f + g 如下： ( f + g) = f () + g(), V . f + g 也是线性函数： ( )( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) f g f g f f g g f g f g = + + + = + + + + + = + + + ( f + g)(k) = f (k) + g(k) = k f () + k g() = k( f + g)() . f + g 称为 f 与 g 的和. 还可以定义数量乘法.设 f 是 V 上线性函数，对于 P 中任意数 k ，定义 函数 kf 如下： (kf )() = k( f ()) , V , kf 称为 k 与 f 的数量乘积，易证 kf 也是线性函数. 容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下， L(V,P) 成为数域 P 上的 线性空间. 取定 V 的一组基 n , , , 1 2 ，作 V 上 n 个线性函数 n f , f , , f 1 2 ，使得 , 1, 2 , , . 0, , 1 , ; ( ) i j n j i j i f i j = = = (1) 因为 i f 在基 n , , , 1 2 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对 V 中向量 = = n i i i x 1 ，有 i i f () = x , (2)
即f,(α)是α的第i个坐标的值引理对V中任意向量α，有(3)f,(α)e,α=1而对L(V,P)中任意向量，有(4)f =Ef(8)f. .i=l定理2L(V,P)的维数等于V的维数，而且fi,f2,…,f,是L(V,P)的一组基.定义2L(P,V)称为V的对偶空间.由（1）决定L(V,P)的的基，称为8,62,6,的对偶基以后简单地把V的对偶空间记作V*例考虑实数域R上的n维线性空间V=P[x]，，对任意取定的n个不同实数a,a,,,a,，根据拉格朗日插值公式，得到n个多项式(x-a,)(x-a-)(x-a)..(x-a,)p,(x)=,i=1,2,,n.(a, -a,)...(a, -ai--)(a, -a)...(a,-a,.)它们满足[1,j=i;i,j=1, 2,,np,(a,)=0,j+i,p,(x),pz(x),",P,(x)是线性无关的，因为由CP(x)+C2 P2(x)+..+C,P,(x)=0用a代入，即得2c (a,) =c,,(a,)= , - , =-1,,.k=l又因V是n维的，所以p,(x),p,(x),"",P,(x)是V的一组基
即 () i f 是 的第 i 个坐标的值. 引理 对 V 中任意向量 ，有 = = n i i i f 1 () , (3) 而对 L(V,P) 中任意向量 f ，有 = = n i i i f f f 1 ( ) . (4) 定理 2 L(V,P) 的维数等于 V 的维数，而且 n f , f , , f 1 2 是 L(V,P) 的一 组基. 定义 2 L(P,V) 称为 V 的对偶空间.由（1）决定 L(V,P) 的的基，称为 n , , , 1 2 的对偶基. 以后简单地把 V 的对偶空间记作 V . 例 考虑实数域 R 上的 n 维线性空间 n V = P[x] ，对任意取定的 n 个不同 实数 a a an , , , 1 2 ，根据拉格朗日插值公式，得到 n 个多项式 , 1 , 2 , , . ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 i n a a a a a a a a x a x a x a x a p x i i i i i i n i i n i = − − − − − − − − = = + − + 它们满足 , 1, 2 , , . 0 , , 1, ; ( ) i j n j i j i pi a j = = = ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 是线性无关的，因为由 c1 p1 (x) + c2 p2 (x)++ cn pn (x) = 0 用 i a 代入，即得 c p a ci pp ai ci i n n k k k i ( ) ( ) 0 , 1,2, , 1 = = = = = . 又因 V 是 n 维的，所以 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 是 V 的一组基