第七章线性变换上一章，我们讨论了线性空间及其结构.本章将从变换的观点讨论线性空间的进一步性质。如无特别声明，本章所考虑的线性空间都是固定数域P上的线性空间.sS1线性变换的定义教学目的掌握线性变换的定义和简单性质重点线性变换的定义难点线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组教学过程一、线性变换的定义线性空间V到自身的映射称为V的一个变换定义1线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α，β和数域P中任意数k，都有A(α+β)=A(α)+A(β);(1)A(kα)=Ak(α).一般用花体拉丁字母A，B，..表示V的线性变换，A（α）或Aα代表元素α在变换A下的像，定义中等式（1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转9角，就是一个线性变换，用9。表示.如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是(x,y)，那么像9。（α)的坐标，即α旋转0角之后的坐标(x,y)是按照公式
第七章 线性变换 上一章,我们讨论了线性空间及其结构.本章将从变换的观点讨论线性 空间的进一步性质. 如无特别声明,本章所考虑的线性空间都是固定数域 上的线性空间. §1 线性变换的定义 教学目的 掌握线性变换的定义和简单性质. 重 点 线性变换的定义. 难 点 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组. 教学过程 一、线性变换的定义 线性空间 V 到自身的映射称为 V 的一个变换. 定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于 V 中任 意的元素 , 和数域 P 中任意数 k ，都有 A ( + )=A ( )+A ( ); A( k )=A k ( ). （1） 一般用花体拉丁字母 A，B，.表示 V 的线性变换，A ( )或 A 代表元素 在变换 A 下的像. 定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与 数量乘法. 例 1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原 点按反时钟方向旋转 角，就是一个线性变换，用 ℐ 表示.如果平面上一个 向量 在直角坐标系下的坐标是 (x, y) ，那么像 ℐ ( )的坐标，即 旋转 角之后的坐标 (x , y ) 是按照公式 P
0 -sinosincoso来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换例2设α是几何空间中一固定非零向量，把每个向量变到它在α上的内射影的变换也是一个线性变换，以Ⅱ。表示它.用公式表示就是(α,)IIa(5)=,α(α,α)这里(α,5),(α,α)表示内积例3线性空间V中的恒等变换或称单位变换E，即E(α)=α(αeV)以及零变换0，即0(α)=0 (αeV)都是线性变换例4设V是数域P上的线性空间，k是P中的某个数，定义V的变换如下：α→kα,αEV.这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用K表示.显然当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换例5在线性空间P[x]或者P[x],中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用①代表，即D (f(x)) =f'(x)例6定义在闭区间[a,b上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表.在这个空间中变换g (f(x)) =f" f(t)dt
− = y x y x sin cos cos sin . 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 例 2 设 是几何空间中一固定非零向量，把每个向量 变到它在 上 的内射影的变换也是一个线性变换，以 表示它.用公式表示就是 ( , ) ( , ) ( ) = . 这里 (, ),(,) 表示内积. 例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E，即 E () = ( V ) 以及零变换 ℴ，即 ℴ () = 0 ( V) 都是线性变换. 例 4 设 V 是数域 P 上的线性空间， k 是 P 中的某个数，定义 V 的变换 如下： → k , V . 这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用 K 表示.显然当 k =1 时，便得恒等变换，当 k = 0 时，便得零变换. 例 5 在线性空间 P[x] 或者 n P[x] 中，求微商是一个线性变换.这个变换 通常用 D 代表，即 D（ f (x) ）= f (x) . 例 6 定义在闭区间 a,b 上的全体连续函数组成实数域上一线性空间， 以 C(a,b) 代表.在这个空间中变换 ℐ（ f (x) ）= x a f (t)dt
是一线性变换二、线性变换的简单性质：1.设A是V的线性变换，则A(O)=0，A(-α)=-A(α).2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果β是αα2α,的线性组合：β=k,α, +k,α, +...+k,α,,那么经过线性变换A之后，A（β)是A(α,)A(α,),..,A(α,)同样的线性组合：A(β)=k,A(α))+k,A(α,)+...+ k,A(α,)又如果αi,αz,α,之间有一线性关系式ka, +kα,+...+k,a,=0那么它们的像之间也有同样的关系式kA(α,)+k2A(α,)+...+k,A(α,)=03.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组
是一线性变换. 二、线性变换的简单性质： 1. 设 A 是 V 的线性变换，则 A (0)=0, A (− )=-A ( ). 2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果 是 r , , , 1 2 的线性组合： r r = k11 + k22 ++ k , 那么经过线性变换 A 之后，A ( )是 A ( 1 ),A ( 2 ),., A ( r )同样的线性组 合： A ( )= 1 k A ( 1 )+ 2 k A ( 2 )+.+ r k A ( r ) 又如果 r , , , 1 2 之间有一线性关系式 k11 + k22 ++ krr = 0 那么它们的像之间也有同样的关系式 1 k A ( 1 )+ 2 k A ( 2 )+.+ r k A ( r )=0. 3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组
S2线性变换的运算教学目的掌握线性变换的加法，乘法，数乘，逆和多项式重 点线性变换的乘法，逆难点线性变换的多项式教学过程一、线性变换的乘法设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为(αeV).(AB)(α)= A(B (α ))则线性变换的乘积也是线性变换线性变换的乘法适合结合律，即(AB)C=A(BC)但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换D (f(x)) = f'(x) (f(x)) =f, ()dt的乘积D9=，但一般9D对于任意线性变换A，都有AC=&A =A.二、线性变换的加法设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和A+B为(αeV).(A+B)(α)= A (α)+B (α)则线性变换的和还是线性变换，线性变换的加法适合结合律与交换律，即
§2 线性变换的运算 教学目的 掌握线性变换的加法，乘法，数乘，逆和多项式. 重 点 线性变换的乘法，逆. 难 点 线性变换的多项式. 教学过程 一、线性变换的乘法 设 A,B 是线性空间 V 的两个线性变换，定义它们的乘积为. (AB)( )= A,(B ( )) ( V ). 则线性变换的乘积也是线性变换. 线性变换的乘法适合结合律，即 (AB)C=A(BC). 但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变 换 D（ f (x) ）= f (x) . ℐ（ f (x) ）= x a f (t)dt 的乘积 D ℐ=ℰ，但一般 ℐD≠ℰ. 对于任意线性变换 A，都有 Aℰ=ℰA = A. 二、线性变换的加法 设 A,B 是线性空间 V 的两个线性变换，定义它们的和 A+B 为 (A+B)( )= A ( )+B ( ) ( V ). 则线性变换的和还是线性变换. 线性变换的加法适合结合律与交换律，即
A+(B+C)=(A+B)+C.A+B=B+A.对于加法，零变换0与所有线性变换A的和仍等于A：A+0=A.对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A)：(αeV).(-A)(α)=- A (α)则负变换（-A）也是线性变换，且A+ (-A) =0.线性变换的乘法对加法有左右分配律，即A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA.三、线性变换的数量乘法数域P中的数与线性变换A的数量乘法定义为kA=KA即kA(α)=K(A(α))=KA (α),当然A还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：()A=k (IA),(k + I) A= k A+I A,k(A+B)= k A+ k B,1A=A.线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间
A+(B+C)=(A+B)+C. A+B=B+A. 对于加法，零变换 ℴ 与所有线性变换 A 的和仍等于 A： A+ℴ=A. 对于每个线性变换 A，可以定义它的负变换（-A）： (-A)( )=- A ( ) ( V ). 则负变换（-A）也是线性变换，且 A+（-A）=ℴ. 线性变换的乘法对加法有左右分配律，即 A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA. 三、线性变换的数量乘法 数域 P 中的数与线性变换 A 的数量乘法定义为 k A =KA 即 k A( )=K(A ( ))=KA ( ), 当然 A 还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律： (kl) A= k ( l A), (k + l) A= k A+ l A, k (A+B)= k A+ k B, 1A=A. 线性空间 V 上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间