第三章线性方程组s1消元法教学目的掌握线性方程组的概念，熟练掌握消元法解线性方程组重点消元法难点消元法教学过程一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为aii+ai2x2+...+ainx,=bi,a2ixj+a22X2+...+a2n,=b2,(1)[as1x+as2x2+...+asmXn=bs的方程组，其中x,x，",x代表n个未知量，s是方程的个数，a,(i=1,2,;j=1,2,n)称为线性方程组的系数，b,(j=1,2…,s)称为常数项.方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.系数a,的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是x，的系数所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k,kz,",k组成的有序数组(k,kz,k），当x,x2,"x,分别用k,k2,,k,代入后，(1)中每个等式都变成恒等式.方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
第三章 线性方程组 §1 消元法 教学目的 掌握线性方程组的概念，熟练掌握消元法解线性方程组 重 点 消元法 难 点 消元法 教学过程 一、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 + + + = + + + = + + + = s s sn n s n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , (1) 的方程组，其中 n x , x , , x 1 2 代 表 n 个 未 知 量 ， s 是 方 程 的 个 数 ， a (i 1,2, ,s; j 1,2, ,n) ij = = 称为线性方程组的系数， b ( j 1,2, ,s) j = 称为常 数项.方程组中未知量的个数 n 与方程的个数 s 不一定相等.系数 ij a 的第一个 指标 i 表示它在第 i 个方程，第二个指标 j 表示它是 j x 的系数. 所谓方程组(1)的一个解就是指由 n 个数 n k , k , , k 1 2 组成的有序数组 ( , , , ) 1 2 n k k k ，当 n x , x , , x 1 2 分别用 n k , k , , k 1 2 代入后，(1)中每个等式都变 成恒等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出 它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合， 它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性 方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
b,aua2ainb2a21a2na22..(2):b.asia2.asn来表示.实际上，有了（2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组（1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如，解方程组2x-x2+3x,=1,4x,+2x,+5x,=4,2x+X2+2xg=5第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成[2x]-x,+3x,=1,4x2 -x, =2,2x2 -x, =4.第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即[2x-x +3x,=1,得2x2 -x,=4,X3 = -6.这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1.用一非零数乘某一方程；2.把一个方程的倍数加到另一个方程；3.互换两个方程的位置定义1变换1，2，3称为线性方程组的初等变换二、线性方程组的解的情形
s s sn s n n a a a b a a a b a a a b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 (2) 来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确 定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里 学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方 法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解 一般线性方程组. 例如，解方程组 + + = + + = − + = 2 2 5. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 第二个方程组减去第一个方程的 2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变 成 − = − = − + = 2 4. 4 2 , 2 3 1, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 第二个方程减去第三个方程的 2 倍，把第二第三两个方程的次序互换，即 得 = − − = − + = 6. 2 4 , 2 3 1, 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）. 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而 所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1. 用一非零数乘某一方程； 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程； 3. 互换两个方程的位置. 定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组对于方程组(1)，首先检查x,的系数.如果x,的系数a,a21,"",a全为零，那么方程组(1)对x没有任何限制，x就可以取任何值，而方程组(1)可以看作x，,x，的方程组来解.如果x的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设ai±0.利用初等变换2，分别把第一个方程的-倍加到第i个方程au(i=2,,n).于是方程组(1)就变成a+a2x++anx,=b,a22x2 +..+a2nx.=b,,(3) a'2x, +.+a'n, =b',,其中df =a,-.ay, = ., =2,.,.nan这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组a22x,+..+a2nxn=b2,(4)a'zx,+...+amx,=bn的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出x的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解对（4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把 方程组变成同解的方程组. 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组(1)，首先检查 1 x 的系数.如果 1 x 的系数 11 21 1 , , , a a as 全为零， 那么方程组(1)对 1 x 没有任何限制， 1 x 就可以取任何值，而方程组(1)可以看 作 n x , , x 2 的方程组来解.如果 1 x 的系数不全为零，那么利用初等变换 3，可 以设 a11 0.利用初等变换 2，分别把第一个方程的 11 1 a ai − 倍加到第 i 个方程 ( i = 2 , ,n ).于是方程组(1)就变成 + + = + + = + + + = , , , 2 2 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 s sn n s n n n n a x a x b a x a x b a x a x a x b (3) 其中 a i s j n a a a a j i ij ij , 2 , , , 2 , , 1 11 = − 1 = = 这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 + + = + + = s sn n n n n a x a x b a x a x b 2 2 22 2 2 2 , (4) 的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出 1 x 的值，这就得出(3) 的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为 方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方 程组(4)有解. 对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到 一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
Cux,+C2x,+...+Crx,+..+Cinx,=d,.C22X2+...+C2rX,+...+C2nX,=d2,C.x, +..+crmx, =d,,(5)0= dr+1,0=0,0=0.其中c.+0,i=1,2,r.方程组(5)中的“0=0"这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的现在考虑(5)的解的情况.如(5)中有方程0=d1，而dr0.这时不管x，x2,,x,取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解当dr是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况：1）r=n.这时阶梯形方程组为CM,+Ci2x,+.+Cnx,=d,,C22X2+..+C2nX,=d,(6)Cmx,=d,,其中c*0,i=1,2,n.由最后一个方程开始，x,，x-"x的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解例1解线性方程组[2x, -X2+3x, =1,4x+2x2+5x=4,2x+x2+2x=5.2）r<n.这时阶梯形方程组为CuX+Ci2X2 +.+Cirx,+Cir+i+I +.+Cinx,=d,,C2X2+...+C2rX,+C2,+1Xr1+...+C2nXn=d2C.X, +Cr+IX+++...+Cmx,=d
= = = + + = + + + + = + + + + + = + 0 0 . 0 0 , 0 , , , , 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 r r r r r n n r r r n n r r n n d c x c x d c x c x c x d c x c x c x c x d (5) 其中 c i r ii 0 , =1,2, , .方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现， 也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的. 现在考虑(5)的解的情况. 如(5)中有方程 0 = dr+1 ，而 dr+1 0.这时不管 n x , x , , x 1 2 取什么值都不 能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解. 当 dr+1 是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1） r = n.这时阶梯形方程组为 = + + = + + + = , , , 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 nn n n n n n n c x d c x c x d c x c x c x d (6) 其中 cii 0 , i =1,2, ,n.由最后一个方程开始， 1 1 x , x , , x n n− 的值就可以逐 个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解. 例 1 解线性方程组 + + = + + = − + = 2 2 5. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 2） r n.这时阶梯形方程组为 + + + = + + + + + = + + + + + + = + + + + + + , , , , 1 1 2 2 2 2 2, 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1, 1 1 1 1 r r r r r r r n n r r r r r n n r r r r n n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x c x c x d
其中c+0,i=1,2,,r.把它改写成Cai +Ci2X2+.+CirX, =d, -CLr+IXr+I-...-CinXn-C22X2+...+CrX,=d,-C2,r+Xr+1-...-C2nXn(7)Cmx, =d,-Crr+Xr+-...-CmXn-由此可见，任给xx,一组值，就唯一地定出x,x2,,x,的值，也就是定出方程组(7)的一个解一般地，由(7)我们可以把x,x2,",x,通过Xr+1,",x,表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而xr+",x称为一组自由未知量例2解线性方程组2x, -X2 +3x, =1,4x,-2x2+5x,=4,[2x) -x +4x, =-1.从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”（如果出现的话)去掉如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解：如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解定理1在齐次线性方程组a+ai2x,+...+anx,=0,a2ixf+a2x+.+a2nx.=0,[a+a2x2+...+asnx,=0中，如果s<n，那么它必有非零解矩阵
其中 c i r ii 0 , =1,2, , .把它改写成 = − − − + + = − − − + + + = − − − + + + + + + . , , , 1 1 2 2 2 2 2 2, 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1, 1 1 1 r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n c x d c x c x c x c x d c x c x c x c x c x d c x c x (7) 由此可见，任给 r n x , , x +1 一组值，就唯一地定出 r x , x , , x 1 2 的值，也就是 定出方程组 (7) 的 一 个解 .一 般 地， 由(7) 我 们可以把 r x , x , , x 1 2 通过 r n x , , x +1 表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而 r n x , , x +1 称为一组自由未知量. 例 2 解线性方程组 − + = − − + = − + = 2 4 1. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子， 但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子. 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初 等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出 现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那 么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个 数 r 等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程 的个数 r 小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解. 定理 1 在齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 中，如果 s n ，那么它必有非零解. 矩阵