第二章 极限与连续一一数列的极限
第二章 极限与连续 ―—数列的极限
与数列相关的一些定义·数列：按一定次序排列的一列数ai,,L，a,,L称为数列。或者：定义域为正整数集的函数f：z+→R，naa=f(n）称为数列。数列一般记为(a，，其中a，称为一般项或者通项
与数列相关的一些定义 • 数列： 或者： 定义域为正整数集的函数 ： ， 称为数列。 按一定次序排列的一列数 称为数列。 数列一般记为 ，其中 称为一般项或者通项
·数列的子列：设数集(n:kZ+}Z+，且对于VkZ+,nk+>nk，则称数列ian是数列(a,}的一个子列。易见，数列a是自己的一个子列。称数列(a2,）是数列(a,的偶子列，称数列a2n-}是数列(an的奇子列
• 数列的子列： 设数集 ，且对于 ， ， 则称数列 是数列 的一个子列。 易见，数列 是自己的一个子列。 称数列 是数列 的偶子列， 称数列 是数列 的奇子列
·数列的性质：设数列ia的通项a，=f(n）。若函数f是有界函数，则称数列a，是有界数列。类似可定义有上界数列、有下界数列、单调数列、严格单调数列。练习证明：数列ia,严格单调递增Vnez+，n+1>an。常用的证明数列性质的方法有：数学归纳法、函数法、作差（商）放缩等
• 数列的性质： 若函数 是有界函数，则称数列 是有界数列。 设数列 的通项 。 类似可定义有上界数列、有下界数列、单调数列、严格单调数列。 练习 证明：数列 严格单调递增 ， 。 常用的证明数列性质的方法有： 数学归纳法、函数法、作差（商）放缩等
例已知数列(a满足：a,=2，an+1=a,+2，nz+，证明：(a,严格单调递增。数学归纳法:",=2+V>2=,解an+1 = Va, +2 >Jan-1 +2 =an 。函数法:", =/2+V2>V2=1,且函数=Vx+2严格单调递增
解 数学归纳法： ， 。 函数法： 且函数 严格单调递增。 例 已知数列 满足： ， ， 严格单调递增。 ， ，证明：