第八章λ-矩阵 引言：由第七章的讨论我们知道，方阵未必能对角化，那么方阵能相似于什 么样的最简单形式的矩阵呢？本章用λ-矩阵的知识证明了：复n级矩阵A 都相似于若当标准形。λ-矩阵的理论和若当标准形不仅在矩阵理论、矩阵 计算中起着十分重要的作用，而且在微分方程、力学、控制论等学科具有广 泛的应用. §1n-矩阵 教学目的理解~-矩阵的概念和性质，注意与数字矩阵的关系与区别 重点-矩阵的定义，可逆的充要条件. 教学过程 设P是数域，λ是一个文字，作多项式环P[2],一个矩阵如果它的元素 是λ的多项式，即P[A]的元素，就称为λ-矩阵.在这一章讨论λ-矩阵的一 些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理. 因为数域P中的数也是P[2]的元素，所以在λ-矩阵中也包括以数为 元素的矩阵.为了与2-矩阵相区别，把以数域P中的数为元素的矩阵称为 数字矩阵.以下用A(),B(),.·等表示λ-矩阵. 我们知道，P[1]中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数 的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的 加法与乘法，因此可以同样定义-矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的 运算有相同的运算规律. 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一 个n×n的λ-矩阵的行列式.一般地，λ-矩阵的行列式是λ的一个多项式， 它与数字矩阵的行列式有相同的性质. 定义1如果λ-矩阵A(A)中有一个r(r≥1)级子式不为零，而所有r+1 级子式（如果有的话）全为零，则称A(1)的秩为r.零矩阵的秩规定为零
第八章 −矩阵 引言：由第七章的讨论我们知道，方阵未必能对角化，那么方阵能相似于什 么样的最简单形式的矩阵呢？本章用λ-矩阵的知识证明了：复 n 级矩阵 都相似于若当标准形． -矩阵的理论和若当标准形不仅在矩阵理论、矩阵 计算中起着十分重要的作用，而且在微分方程、力学、控制论等学科具有广 泛的应用． §1 −矩阵 教学目的 理解 -矩阵的概念和性质，注意与数字矩阵的关系与区别. 重 点 -矩阵的定义，可逆的充要条件. 教学过程 设 P 是数域， 是一个文字，作多项式环 P[] ，一个矩阵如果它的元素 是 的多项式，即 P[] 的元素，就称为 −矩阵.在这一章讨论 −矩阵的一 些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P[] 的元素，所以在 −矩阵中也包括以数为 元素的矩阵.为了与 −矩阵相区别，把以数域 P 中的数为元素的矩阵称为 数字矩阵.以下用 A(), B(), 等表示 −矩阵. 我们知道， P[] 中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数 的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的 加法与乘法，因此可以同样定义 −矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的 运算有相同的运算规律. 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一 个 nn 的 −矩阵的行列式.一般地， −矩阵的行列式是 的一个多项式， 它与数字矩阵的行列式有相同的性质. 定义 1 如果 −矩阵 A() 中有一个 r(r 1) 级子式不为零，而所有 r +1 级子式（如果有的话）全为零，则称 A() 的秩为 r .零矩阵的秩规定为零. A
定义2一个n×n的-矩阵A()称为可逆的，如果有一个n×n的-矩阵B(元)使(1)A(2)B()= B(2)A(a)= E,这里E是n级单位矩阵.适合(1)的矩阵B(a)（它是唯一的)称为A(a)的逆矩阵，记为A-(a)..定理1一个n×n的-矩阵A()是可逆的充要条件为行列式|A(a)|是一个非零的数
定义 2 一个 nn 的 −矩阵 A() 称为可逆的，如果有一个 nn 的 − 矩阵 B() 使 A()B() = B()A() = E , (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵.适合(1)的矩阵 B() (它是唯一的)称为 A() 的逆 矩阵，记为 ( ) 1 − A . 定理 1 一个 nn 的 −矩阵 A() 是可逆的充要条件为行列式 | A() | 是 一个非零的数
s2-矩阵在初等变换下的标准形教学目的记忆元-矩阵的初等变换，等价，标准形的概念，熟练掌握其标准形的求法.重点元-矩阵标准形的求法教学过程几-矩阵也可以有初等变换定义3下面的三种变换叫做入－矩阵的初等变换：（1）矩阵的两行（列）互换位置；(2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c；(3）矩阵有某一行（列）加另一行（列）的()倍，p()是一个多项式和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵例如，将单位矩阵的第j行的(a)倍加到第i行上得例j列(1:行1.(2)P(i.j(β) =j行1 仍用P(i,j)表示由单位矩阵经过第i行第行互换位置所得的初等矩阵，用P(i(c))表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵.同样地，对一个sxn的α-矩阵A(a)作一次初等变换就相当于在A(a)的左边乘上相应s×s的初等矩阵：对A2)作一次初等列变换就相当于A(2)在的右边乘上相应的nxn的初等矩阵，初等矩阵都是可逆的，并且有
§2 −矩阵在初等变换下的标准形 教学目的 记忆 -矩阵的初等变换，等价，标准形的概念，熟练掌握其标 准形的求法. 重 点 -矩阵标准形的求法. 教学过程 −矩阵也可以有初等变换 定义 3 下面的三种变换叫做 −矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行（列）互换位置； (2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 c ； (3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的 () 倍， () 是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的 第 j 行的 () 倍加到第 i 行上得 行 行 列 列 j i P i j i j = 1 1 1 ( ) 1 ( . ( )) 仍用 P(i, j) 表示由单位矩阵经过第 i 行第 j 行互换位置所得的初等矩阵，用 P(i(c)) 表示用非零常数 c 乘单位矩阵第 i 行所得的初等矩阵.同样地，对一个 sn 的 − 矩阵 A() 作一次初等变换就相当于在 A() 的左边乘 上相应 ss 的初等矩阵；对 A() 作一次初等列变换就相当于 A() 在的右边乘上相 应的 nn 的初等矩阵. 初等矩阵都是可逆的，并且有
P(i, j)-" = P(i, J), P(i(c))- = P(i(c-")),P(i, j()- = P(i,j(-p))由此得出初等变换具有可逆性：设入-矩阵A(a)用初等变换变成B(2)，这相当于对A(a)左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B(a)就变回A(a)，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由B(a)可用初等变换变回 A(2)定义4-矩阵A(a)称为与B(a)等价，如果可以经过一系列初等变换将 A(2)化为 B(2)等价是元一矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质：（1）反身性：每一个元-矩阵与它自身等价(2)对称性：若A(a)与B(2)等价，则B(2)与A(a)等价(3)传递性：若A(a)与B(a)等价，B()与C(a)等价，则A(2)与C(2)等价.应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵A(a)与B(a)等价的充要条件为有一系列初等矩阵P,P2,,P,Q1,Q2Q，使(2)A(a)= PP .PB(a)QQ, *--Qt这一节主要是证明任意一个入－矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.引理设-矩阵A()的左上角元素an()0，并且A()中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与A(a)等价的矩阵B()，它的左上角元素也不为零，但是次数比a(a)的次数低定理2任意一个非零的sxn的-矩阵A(a)都等价于下列形式的矩阵
( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), ( , ( )) ( , ( )) 1 1 1 1 = = = − − − − − P i j P i j P i c P i c P i j P i j . 由此得出初等变换具有可逆性：设 −矩阵 A() 用初等变换变成 B() ， 这相当于对 A() 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B() 就变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 B() 可用初等变换变 回 A() . 定义 4 −矩阵 A() 称为与 B() 等价，如果可以经过一系列初等变换 将 A() 化为 B() . 等价是 −矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (1) 反身性：每一个 −矩阵与它自身等价. (2) 对称性：若 A() 与 B() 等价，则 B() 与 A() 等价. (3) 传递性：若 A() 与 B() 等价， B() 与 C() 等价，则 A() 与 C() 等价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件为 有一系列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2 1 2 ，使 A P1P2 PlB Q1Q2 Qt () = () . (2) 这一节主要是证明任意一个 −矩阵可以经过初等变换化为某种对角 矩阵. 引理 设 −矩阵 A() 的左上角元素 a11() 0 ，并且 A() 中至少有一 个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它 的左上角元素也不为零，但是次数比 ( ) a11 的次数低. 定理 2 任意一个非零的 sn 的 −矩阵 A() 都等价于下列形式的矩阵
(d,(a)d,(a)..d,(a)0.0其中r≥1,d(a)(i=1,2,.,r)是首项系数为1的多项式，且d()ldu(a) (i=1,2,.".,r-1)这个矩阵称为A(元）的标准形例用初等变换化入一矩阵(1- 元2元-1元2-元元A(2) =1+ 2223+元-1-22为标准形
0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 dr d d , 其中 r 1,d ( )(i 1, 2, ,r) i = 是首项系数为 1 的多项式，且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di di+1 i = r − . 这个矩阵称为 A() 的标准形. 例 用初等变换化 −矩阵 + + − − − − − = 2 3 2 2 1 1 1 2 1 ( ) A 为标准形