第二章行列式81引言教学目的了解行列式产生的背景，掌握二级，三级行列式的定义重点二级，三级行列式的定义教学过程解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容对于二元线性方程组[am +a2=bi,[ai,+a2x2=b2,当aa22-a220时，此方程组有唯一解，即b,a22 -aizb2高 =arb,-azb=aa22-i221aa22-2a2我们称aa22-a2a2为二级行列式，用符号表示为a a222221=a2a22于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式[ana2#0[a21a22]时，该方程组有唯一解，即b[brai2aub23a21a22Xi =X2ana12ai2ai[a21a22a22a21
第二章 行列式 §1 引言 教学目的 了解行列式产生的背景，掌握二级，三级行列式的定义. 重 点 二级，三级行列式的定义. 教学过程 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程 占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方 程组. 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组 + = + = , , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 当 a11a22 − a12a21 0 时，此方程组有唯一解，即 , . 11 22 12 21 11 2 12 1 2 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a a b a b x a a a a b a a b x − − = − − = 我们称 a11a22 − a12a21 为二级行列式，用符号表示为 21 22 11 12 11 22 12 21 a a a a a a − a a = . 于是上述解可以用二级行列式叙述为： 当二级行列式 0 21 22 11 12 a a a a 时，该方程组有唯一解，即 21 22 11 12 21 2 11 1 2 21 22 11 12 2 22 1 12 1 , a a a a a b a b x a a a a b a b a x = =
对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组a,+a2x+axg=b,a21+a22x2+a23x=b2[ag1x, +ax +ag=b,称代数式aa22+a2a21+a132-a2-a2a2a3-1g,为三级行列式，用符号表示为：aai23a23aa23+a2+a2ia32-aa22-ai22a3-a22=a2122[a3a32a3[aiai2a13当三级行列式d=a21+0a22a23[a3a32a33解为时，上述三元线性方程组有唯一解，d,d,d=X2X3ddd[b,bar3aub,a23anai2b,b,其中d,=b2,d, =a23,d,=a22a23a21a22a21bsb,ab,a3a32a33a31ag2在这一章我们要把这个结果推广到n元线性方程组aix+ai2x2+...+ainx,=bi,a2ix,+a2x2+...+a2nx,=b,anx+an2X2+..+amxn=b.的情形为此，首先给出n级行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主要内容
对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 + + = + + = + + = . , , 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 称代数式 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 为三 级行列式，用符号表示为： 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a = 当三级行列式 0 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = a a a a a a a a a d 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 , , , 3 3 2 2 1 1 d d x d d x d d x = = = 其中 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 , , a a b a a b a a b d a b a a b a a b a d b a a b a a b a a d = = = . 在这一章我们要把这个结果推广到 n 元线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , 的情形.为此，首先给出 n 级行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主 要内容
82排列教学目的掌握排列的有关术语，熟练掌握逆序数计算法和对换改变排列的奇偶性.重点逆序数计算法、对换改变排列的奇偶性难点对换改变排列的奇偶性教学过程一、排列的定义定义1由1,2,",n组成的一个有序数组称为一个n级排列显然12.·n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的：其它的排列或多或少地破坏自然顺序定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数排列jjj,的逆序数记为t(ijzjn)定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列.应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般也称为n级排列.对这样一般的n级排列，同样可以定义上面这些概念二、排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部n级排列两两配对，使每两个配成对的n级排列在这个对换下互变定理1对换改变排列的奇偶性这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列
§2 排列 教学目的 掌握排列的有关术语，熟练掌握逆序数计算法和对换改变排列 的奇偶性. 重 点 逆序数计算法、对换改变排列的奇偶性. 难 点 对换改变排列的奇偶性. 教学过程 一、排列的定义 定义 1 由 1,2, ,n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列. 显然 12n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的 顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前 面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就 称为这个排列的逆序数. 排列 n j j j 1 2 的逆序数记为 ( ) 1 2 n j j j 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇 排列. 应该指出，我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排列， 一般也称为 n 级排列.对这样一般的 n 级排列，同样可以定义上面这些概念. 二、排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排 列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么 排列就还原了.由此得知，一个对换把全部 n 级排列两两配对，使每两个配 成对的 n 级排列在这个对换下互变. 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列
推论在全部n级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n/2个定理2任意一个n级排列与排列12·n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性
推论 在全部 n 级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 n!/ 2 个. 定理 2 任意一个 n 级排列与排列 12n 都可以经过一系列对换互变， 并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性
83n级行列式教学目的掌握n级行列式的定义和定理3.1，掌握三角形行列式及其值重点n级行列式的定义难点n级行列式的定义及其应用教学过程一、n级行列式的概念在给出n级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义我们有Jan a2(1)=aa22 -ai221[a21a22a23a21a22a23a3132a33(2)=a22++ag2-2223-22从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成(3)asazi,a3jg其中jij2j,是1，2，3的一个排列.可以看出，当jij2j是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当jij2Jj是奇排列时带有负号定义4n级行列式ad2.ana2ia22.a2n(4):：aman2...am
§3 n 级行列式 教学目的 掌握 n 级行列式的定义和定理 3.1，掌握三角形行列式及其值. 重 点 n 级行列式的定义. 难 点 n 级行列式的定义及其应用. 教学过程 一、 n 级行列式的概念 在给出 n 级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义. 我们有 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − (1) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a (2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每 一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展 开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符 号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般 形式可以写成 1 1 2 2 3 3 a j a j a j , (3) 其中 1 2 3 j j j 是 1，2，3 的一个排列.可以看出，当 1 2 3 j j j 是偶排列时.对应的项 在(2)中带有正号，当 1 2 3 j j j 是奇排列时带有负号. 定义 4 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (4)